En este ensayo, el matemático hispano-argentino Lluís A. Santaló examina la vida y las contribuciones científicas de Pierre-Simon Laplace, una de las figuras más influyentes en la historia de las matemáticas y la física. Santaló, conocido por su enfoque pedagógico y su interés en la historia de las matemáticas, ofrece en este libro una exposición clara y accesible de los logros de Laplace, contextualizándolos dentro de su época y destacando su relevancia en el desarrollo de la ciencia moderna.

Lluís A. Santaló fue un destacado geómetra del siglo XX, con más de 130 publicaciones científicas y una notable preocupación por la enseñanza de las matemáticas. Su enfoque didáctico y su capacidad para conectar conceptos complejos con aplicaciones prácticas hacen que sus obras sean valiosas tanto para estudiantes como para profesionales del ámbito científico.

En Laplace Santaló explora temas como la teoría de probabilidades, la mecánica celeste y la estadística, áreas en las que Laplace realizó aportes fundamentales. Además, el autor analiza cómo las ideas de Laplace han influido en el pensamiento científico posterior y su aplicación en diversas disciplinas.

Lluís A. Santaló

Laplace

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Titivillus 18.04.2025

Lluís A. Santaló, 1968

Editor digital: Titivillus

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Estudio preliminar

1. La vida de Laplace

Pierre Simon de Laplace nació el 23 de marzo de 1749 en la pequeña villa de Beaumont-en-Auge, en Normandía (Francia). Su padre, Pierre de Laplace, era agricultor, y en ciertas épocas se dedicó también a la manufactura de sidra. De sus dos tíos paternos, uno, Louis de Laplace, era clérigo, y el otro, médico. Un tío abuelo, Olivier de Laplace, tenía el título de cirujano real. Su origen, por tanto, no es tan humilde como a veces se ha señalado. No pertenecía a la nobleza, pero sí a una familia de la burguesía, compuesta de pequeños terratenientes y profesionales.

Sus primeros estudios, a los siete años, fueron hechos en un colegio religioso de benedictinos, cercano a su casa, en el que enseñaba su tío clérigo. Fue él quien, probablemente, inició a Laplace en las matemáticas. En el colegio se preparaban los alumnos para tres direcciones: el ejército, las leyes y la iglesia Laplace seguía esta ultima, y en tal carácter, con el uniforme negro de los futuros religiosos, ingresó a los dieciséis años (en 1765) en el Colegio de Artes de Caen, regido por los jesuitas. De esta época en Caen data su primer trabajo de matemática: una memoria sobre el «Cálculo integral de diferencias infinitamente pequeñas y de diferencias finitas», que envió al Lagrange y que éste publicó en la revista titulada Miscellanea Taurinensia, que acababa de fundar en Turín.

Poco después Laplace reconoció que su vocación no era religiosa, y decidió dedicarse íntegramente a la matemática. «No se sabe —dice Fourier en su Elogio Histórico de Laplace— por qué feliz motivo Laplace cambia de rumbo y pasa de la escolástica a la alta geometría». Para ello necesitaba ir a Paris, donde estaban concentrados los altos estudios y las primeras figuras de la matemática, y Laplace comenzó por buscar recomendaciones para D’Alembert, el más influyente de los matemáticos de la época. Consiguió cartas de sus profesores de Caen, Pierre La Canu entre ellos, pero éstas no dieron resultado, únicamente cuando Laplace envió a D’Alembert una memoria sobre los principios generales de la mecánica, consiguió el efecto deseado: fue la mejor tarjeta de presentación. D’Alembert no sólo recibió amablemente al autor de tan profundo y original estudio, sino que en poco tiempo le consiguió un cargo de profesor en la Escuela Militar de París. Era el año 1768, y Laplace contaba 19 años.

Desde su llegada a París los éxitos de Laplace en trabajos y en honores se suceden de manera casi continua. Son pocos sus altibajos, a pesar de que a su alrededor se iban sucediendo el endeble Luis XVI, la Revolución, la dictadura napoleónica y la restauración borbónica. Ello ha sido señalado como una prueba del carácter acomodaticio de Laplace. Tal vez no fuera más que una reacción obligada del instinto de supervivencia sobre el medio ambiente.

La producción de Laplace es extensa y profunda. Sus Obras Completas, editadas por Gauthier-Villars en París entre 1878 y 1912, llenan 14 volúmenes. Abarcan muchos campos de la matemática y también de la física (en 1821 se ocupó de la generación de la electricidad, y entre 1782 y 1784 trabaja con Lavoisier sobre calores específicos), pero hay dos capítulos en los cuales la huella de Laplace ha sido fundamental y seguramente imperecedera: la Mecánica Celeste y el Cálculo de Probabilidades. Más adelante analizaremos ambos aspectos con cierto detalle. Por el momento, sólo queremos señalar que sus años de máxima creación fueron los inmediatos a 1784, en que apareció su gran memoria sobre las desigualdades de Júpiter y Saturno. En 1783 se había publicado la contribución más importante de Laplace al Cálculo de Probabilidades: su famosa memoria «Sobre la aproximación de fórmulas que son funciones de números muy grandes», que contiene la teoría de los desarrollos asintóticos, utilizada posteriormente en muchos capítulos del análisis matemático. Teniendo en cuenta el tiempo transcurrido entre la composición de una memoria y la fecha de su publicación, podemos concluir que la edad más fructífera de Laplace oscila alrededor de los 30 años.

La matemática ha sido siempre obra de jóvenes y aunque Laplace, como otros muchos genios, siguió produciendo casi hasta el fin de su larga vida, es indudable que su máxima originalidad y potencia se encuentra entre los 25 y 35 años. Sería interesante que algún historiador de la ciencia hiciera la estadística de las edades de máxima producción en los grandes científicos, comparándolas para las distintas ramas de la ciencia y aun de las artes. Después de la música, probablemente sea la matemática la disciplina mental que se manifiesta más tempranamente. Sin llegar a la precocidad de un Galois o de un Abel, la curva ascendente de los 30 años que presenta Laplace es, probablemente, una de las más frecuentes.

A pesar de su debilidad, al parecer, por los títulos nobiliarios, Laplace no pudo escapar al espíritu de la época y su obra está impregnada del pensamiento de la Revolución Francesa. En primer lugar, consciente de la ultraespecialización de sus trabajos, comprensibles tan sólo por una selectísima minoría de académicos, los acompañó siempre de tratados expositivos, sin fórmulas, «al alcance de todos», como para probar que le interesaban la opinión y el progreso cultural del pueblo. Así es su famosa Exposición del sistema del Mundo, ejemplo de optimización entre claridad y contenido. Así también, su Ensayo filosófico sobre las probabilidades, donde trata los temas más diversos y de máxima actualidad en la época (influencia de la vacuna antivariólica, probabilidad de acierto o error en las sentencias de los tribunales, renovación de las asambleas legislativas, etcétera). En los libros de divulgación es fácil ser claro cuando sólo se exponen trivialidades. Lo difícil es ser claro cuando se exponen ideas difíciles, sin simplificarlas hasta el punto que ya nada tengan que ver con las originales; en este compromiso entre dos objetivos casi opuestos, Laplace se muestra como expositor magistral.

En segundo lugar, Laplace confía siempre en el poder rector de la razón para explicar y comprender la naturaleza. El progreso de la ciencia significa retroceso de hipótesis, y sin entrar en la causa final, que queda como incógnita, Laplace intenta explicar el origen del mundo a partir de situaciones más simples y de pocas leyes inmutables. Ello nada tiene que ver con el mayor o menor grado de religiosidad. Es, simplemente, un desplazamiento del punto de partida. «Recorramos —dice— la historia de los progresos y de los errores del espíritu humano: en ella veremos cómo han ido retirándose constantemente hasta los límites de sus conocimientos las causas finales».

Todavía cabe señalar, como otra característica de Laplace y de su tiempo, la importancia que daba a la publicación de sus trabajos. Sabía bien que el someterlos al juicio público de los entendidos es el único medio para una valorización objetiva. En ciencia no basta decir qué se ha hecho o qué se es capaz de hacer, si ello no va acompañado de los resultados obtenidos. Por experiencia propia, sabía Laplace que las cartas de recomendación que alababan su capacidad e inteligencia servían de poco si no se complementaban con la demostración de tales asertos. El actual «publicar o perecer», que se ha señalado a veces como una falla de nuestros tiempos, fue siempre válido allí donde la verdadera ciencia ha tenido que luchar para abrirse paso. En sus primeros años de París, Laplace prácticamente bombardeó la Academia de Ciencias con memorias que sometía a su aprobación y publicación. No es posible saber cuántas de ellas le fueron rechazadas, pero es interesante leer en el volumen de la Academia de 1774: «Estas dos memorias del señor de La Place han sido elegidas entre un gran número que ha presentado a la Academia en los tres últimos años». El afán y la impaciencia por distinguirse lo llevaron seguramente a presentar, para su publicación, trabajos no suficientemente elaborados y también —otra analogía de aquellos tiempos, con éstos— caer en el común defecto de tildar de ignorantes a quienes desconocen lo que uno acaba de aprender. Así Lagrange, en julio de 1774, escribía a Condorcet, refiriéndose a Laplace: «… lo que Usted me cuenta es la falta de un joven que siempre exagera sus primeros éxitos; pero la presunción disminuye, cuando el conocimiento crece».

En 1788 Laplace contrajo matrimonio con Charlotte de Courty de Romanges y tuvo dos hijos: Emilio, que siguió la carrera de las armas y llegó a general de división, y una hija que se casó con el Marqués de Portes. El hijo falleció en 1874 sin dejar sucesión, de modo que el título nobiliario y los recuerdos familiares pasaron a la rama femenina, de la que se origina la familia de Colbert-Laplace, radicada en el castillo de Saint-Julien de Mailloc, donde se conservaron manuscritos originales de Laplace hasta 1925, año en que casi todo fue destruido por un incendio. Este hecho no fue el único aciago para la historia de la ciencia: mucha correspondencia de Laplace con otros científicos de la época, que se había salvado y se conservaba en Caen, fue destruida en 1944 durante la batalla de Normandía que siguió al desembarco de los aliados en el continente.

Los últimos años de su vida los pasó Laplace en Arcueil, no lejos de París, vecino de Berthelot, el químico, con el cual y algunos discípulos de ambos formaron un club de intelectuales, en el que celebraban frecuentes y famosas reuniones. Tras una corta enfermedad, Laplace murió en Arcueil el 5 de marzo de 1827, a los 78 años, casi cien años después de Newton (que murió el 20 de marzo de 1727). Fue sepultado en el cementerio del Père Lachaise de París, de donde, en 1888, fue trasladado al mausoleo de la familia Colbert-Laplace en Saint-Julien de Mailloc. En su lápida mortuoria no figura, como en la de Arquímedes o Gauss, alguno de sus teoremas, pero sí la larga lista de honores nobiliarios y académicos que recibió durante su vida.

2. Los honores y la política en Laplace

En la sexta edición de la Exposición del Sistema del Mundo (París, 1835), debajo del nombre del autor, el Marqués de Laplace, figuran sus títulos: Par de Francia, Gran Oficial de la Legión de Honor, uno de los cuarenta de la Academia Francesa, de la Academia de Ciencias, miembro del Bureau de Longitudes de Francia, de las sociedades reales de Londres y Göttingen, de las Academias de Ciencias de Rusia, de Dinamarca, de Suecia y de Prusia, de los Países Bajos, de Italia, etcétera. Basta esta enumeración para darse cuenta de que Laplace recibió, durante su larga vida, los máximos honores académicos. Junto a ellos, recibió también honores políticos y nobiliarios. En 1799, al constituir Napoleón su primer gobierno, después del golpe de estado del 18 Brumario, lo nombró Ministro del Interior. Fue el único alto cargo ejecutivo que tuvo durante su vida y duró en él poco tiempo: a las seis semanas fue sustituido por Luciano Bonaparte, hermano de Napoleón. Al dejar el ministerio, Laplace fue nombrado Senador. Parece que Napoleón, desde que conoció a Laplace en 1786 en la escuela de Ingenieros Militares, conservó siempre para él gran respeto y admiración. Sin embargo, la experiencia en el ministerio no fue muy feliz: «Un matemático de primera fila —habría dicho Napoleón— se reveló rápidamente como un mediocre administrador; desde sus primeros actos vimos que nos habíamos equivocado. Laplace no enfocaba las cuestiones desde su verdadero punto de vista. Encontraba sutilezas en todas partes, tenía tan sólo ideas dudosas y, finalmente, llevó a la administración el espíritu de lo infinitamente pequeño».

El fracaso de Laplace es explicable y aun previsible. En la matemática exacta de Laplace no cabe olvidar los más mínimos detalles; en política, en cambio, hay que seguir sin vacilaciones la resultante más favorable, prescindiendo de lo pequeño y confiando en la intuición más que en la lógica. Los pueblos se manejan más con el sentimiento que con la razón. En Mecánica Celeste, un cambio insignificante, un error en una lejana cifra decimal, puede romper la estabilidad de todo el sistema. En política hay que minimizar los errores, pero es inútil pretender que no existan. Los problemas de la matemática no están acuciados por el tiempo; la solución puede esperar el momento de inspiración afortunado. Los problemas de la política urgen una solución perentoria. Para gobernar el mundo físico bastan unas pocas leyes universales e inmutables. Para gobernar un pueblo hacen falta nuevas leyes todos los días, leyes cambiantes y a veces contradictorias.

En 1802, al fundar la Legión de Honor, Napoleón nombra a Laplace «Gran Oficial» de la misma. En 1806, ya emperador, confiere a Laplace el título de conde.

Al restaurar la monarquía, los Borbones anularon títulos nobiliarios concedidos por el imperio napoleónico, pero Laplace no quedó en el llano: en 1815 Luis XVIII lo nombró Marqués y Par de Francia y, en tal cargo, miembro de la alta Cámara Legislativa. Este hecho, el aceptar honores nobiliarios tanto de Napoleón como de los Borbones, se ha señalado siempre como debilidad y prueba de una conducta acomodaticia, poco ejemplar, de Laplace. Pero tal vez sea más interesante considerar el hecho, inversamente, como una prueba de lo hondo que había calado en todos los ambientes el postulado de la Revolución Francesa de exaltar, como primero, el valor de la inteligencia y de la razón. Ello explica que todos los gobiernos, aunque en polos opuestos, procurasen atraerse a los ciudadanos excepcionales, cualesquiera que fuesen su origen o su pensamiento político o religioso. Más que la debilidad de Laplace al aceptarlos es sintomático y digno de señalar el proceder de los gobernantes, fueran Napoleón o Luis XVIII, al otorgarlos.

3. La mecánica celeste y la hipótesis cosmogónica

En 1687 aparecieron los Principia Mathematica de Newton. En ellos se enunciaba la famosa ley de la gravitación: «Los cuerpos se atraen en razón directa de sus masas e inversa al cuadrado de la distancia». Con esta ley y con la ayuda del cálculo infinitesimal, que él mismo había creado, Newton consiguió explicar las trayectorias de los planetas, tal como Kepler las había enunciado: elipses con el Sol en uno de sus focos.

Pero en realidad los movimientos no son tan simples. Si solamente existiera el Sol y un planeta, ambos con la masa concentrada en un punto, el problema sería fácil y las trayectorias serían verdaderas elipses, recorridas de acuerdo con las leyes enunciadas por Kepler. Pero el sistema solar se compone de varios planetas y también cometas, que se influyen entre sí, lo que hace que las verdaderas trayectorias presenten irregularidades, tanto en su forma geométrica, como en la velocidad con que son recorridas.

Estas irregularidades se conocían bastante bien gracias a la gran cantidad de observaciones acumuladas durante siglos, desde el Almagesto de Ptolomeo (siglo II), y la gran preocupación de los matemáticos del siglo XVIII fue ver si ellas podían explicarse como consecuencia de la ley de Newton. Una de las irregularidades más importantes, la llamada «desigualdad de Júpiter y Saturno», consistía en el hecho observado de que la velocidad media de Júpiter en su movimiento de traslación alrededor del Sol iba creciendo constantemente, mientras que la de Saturno, por el contrario, era siempre decreciente con el tiempo, fenómenos ambos no directamente explicables por la ley de Newton.

Tanto éstas como otras irregularidades habían ya preocupado al mismo Newton, quien llegó a considerarlas inevitables —dada la estructura del sistema solar— y lo indujeron a pensar en la necesidad de que la mano del Creador interviniera de vez en cuando para poner nuevamente en orden el conjunto. Dice Newton al final de su Optica: «Un destino ciego no habría podido nunca hacer mover a todos los planetas de manera tan regular, excepto por ciertas desigualdades que pueden provenir de la acción mutua entre los planetas y los cometas, desigualdades que probablemente irán en aumento por mucho tiempo, hasta que finalmente el sistema tendrá necesidad de ser puesto de nuevo en orden por su creador»; frases devenidas famosas y que motivaron de inmediato la crítica de Leibnitz: «… ellas suponen una idea bien estrecha de la sabiduría y de la potencia de Dios».

Las desigualdades de Júpiter y Saturno fueron objeto de profundos trabajos de Euler (1748 y 1752) y Lagrange (1763), pero sin llegar a una explicación totalmente satisfactoria. El problema fue resuelto por Laplace en una trascendental memoria publicada en 1784, tal vez su obra cumbre, en la que llega a la conclusión de que la desigualdad de Júpiter y Saturno no es eterna, sino periódica con un período muy grande (929 años), razón por la cual dicha periodicidad no había sido observada. La causa resultó ser el hecho de la inconmensurabilidad de los movimientos de los dos planetas.

Otros varios resultados sobre el sistema solar, no explicados anteriormente, fueron aclarados por Laplace en dicha memoria de 1784 y en otras varias, que más tarde constituyeron los cinco volúmenes de su monumental Mecánica Celeste, publicados entre 1799 y 1825. Como consecuencia de estos trabajos de Laplace, el sistema solar resultaba prácticamente estable, es decir, no había necesidad de suponer —como en Newton— la intervención periódica del Creador para volver las cosas a su lugar. Sin que se conozca bien el origen, se cuenta la anécdota de que al presentar Laplace a Napoleón los dos primeros volúmenes de su Mecánica Celeste, éste notó que no contenían la conclusión de Newton sobre dicha intervención divina, a lo que Laplace habría contestado: «Señor, yo no he tenido necesidad de esta hipótesis». El afán simplista de clasificar a las personas en creyentes y ateos y de dar a este hecho singular importancia en la biografía de los hombres ilustres, ha hecho que la anécdota se haya esgrimido como prueba de que Laplace no era creyente. En realidad, basta repetir la frase que antes hemos recordado de Leibnitz al respecto, para comprender que la anécdota no prueba nada. Por parte de Laplace no es más que la expresión del hecho evidente de que todo progreso científico significa la eliminación de hipótesis anteriores. No sería extraño que la anécdota hubiera sido puesta en circulación por aduladores de Napoleón, contemporáneos o no, como manera de hacer saber, indirectamente, que el futuro emperador lo conocía todo, incluso la obra de Newton.

Otra contribución importante de Laplace fue el poder calcular la paralaje del Sol y, por tanto, la distancia del mismo a la Tierra[1]. En la segunda mitad del siglo XVIII Inglaterra y Francia habían enviado misiones científicas a varios lugares lejanos (Cabo de Buena Esperanza, Hawái, Isla de Santa Helena, California, Isla de Santo Domingo) con el objeto de hacer observaciones destinadas a medir dicha paralaje, y lograron obtener, con mucho trabajo y elevado costo, el valor de 8” 5776. En los estudios hechos para explicar la aceleración que se observaba en el movimiento medio de la Luna alrededor de la Tierra, Laplace encontró que en sus ecuaciones figuraba la paralaje del Sol y que ella podía despejarse a partir de los datos conocidos del movimiento lunar. Haciendo los cálculos encontró el valor 8” 6, prácticamente coincidente con el obtenido por observaciones directas. De aquí el orgullo de Laplace al poder decir: «Es bien notable que un astrónomo, sin dejar su observatorio, simplemente comparando sus observaciones con el cálculo, haya sido capaz de determinar con mucha precisión la magnitud y forma de la Tierra, así como sus distancias al Sol y a la Luna, elementos para cuyo conocimiento fueron necesarios largos y penosos viajes por ambos hemisferios».

Muchos otros fueron los descubrimientos de Laplace en Mecánica Celeste que quedaron prácticamente intactos durante todo el siglo XIX. Hubo que esperar el genio de Poincaré, casi cien años después (los Nuevos métodos de la Mecánica Celeste se publicaron entre 1892 y 1899), para lograr mejorarlos en cuanto al rigor matemático y precisión de detalles.

En su Tratado de Mecánica Celeste Laplace trata accidentalmente muchos problemas que necesita para su teoría. Obtiene, por ejemplo, resultados sobre el fenómeno de la capilaridad que han perdurado como clásicos. Respecto de la propagación del sonido en el aire tiene que retomar los trabajos de Newton, que conducían a fórmulas no confirmadas por la observación, para complementarlos de manera definitiva. Observa que las discrepancias que había en ellos eran debidas a que Newton no tenía en cuenta los cambios de calor que acompañan a las compresiones y dilataciones del aire, y afirma que «la velocidad del sonido es igual al producto de la velocidad que da la fórmula newtoniana por la raíz cuadrada de la razón entre el calor específico del aire a presión constante y su calor específico a volumen constante». Con éste y otros ejemplos Laplace se revela como un profundo observador de la naturaleza. En realidad, para él, la matemática fue siempre tan sólo un medio para llegar a la comprensión de los fenómenos naturales.

Además del estudio de los fenómenos tal como se presentan, le interesó también el origen de los mismos, a fin de ir reduciendo a un mínimo «las causas primeras». En 1796, al final de su Exposición del Sistema del Mundo, publicó su hipótesis cosmogónica de la nebulosa. Una hipótesis en cierto modo similar había sido expuesta por el filósofo Kant en 1755, con el título de Historia Natural y Teoría General del Cielo. La idea central parte de una nebulosa en movimiento de rotación que al condensarse se va desprendiendo de anillos (como el actual de Saturno), los cuales a su vez, al seguir condensándose, dan origen a los planetas. Con esta idea Laplace consigue explicar los fenómenos observados en su época, pero más tarde, al descubrirse que los planetas Urano y Neptuno presentan el movimiento de rotación alrededor de su eje en sentido contrario al de los demás planetas y que también ciertos satélites de Saturno, Urano y Neptuno giran alrededor de su planeta en sentido contrario al usual, la teoría ha debido rechazarse o sufrir grandes alteraciones que la apartan de la simple y atrayente exposición original de Laplace.

4. El cálculo de probabilidades

Los primeros intentos de explicar por medio de la matemática las cuestiones del azar, datan de 1654: se conoce una famosa correspondencia mantenida entre Blaise Pascal y Pierre de Fermat, a raíz de un problema de juego propuesto al primero de ellos por el Caballero de Meré. El problema consistía en explicar la aparente paradoja de que, si bien al lanzar un dado 4 veces es ventajoso apostar que saldrá por lo menos una vez el seis, contra que no saldrá ninguna vez, al lanzar dos dados 24 veces, es desventajoso apostar que por lo menos una vez se obtendrá el doble seis contra el caso opuesto, a pesar de que 24 es a 36 (que es el número de posibilidades con los dos dados) como 4 es a 6 (que es el número de posibilidades con un solo dado).

La cuestión, simple e intrascendente en sí misma, en manos de ilustres matemáticos como Pascal y Fermat tuvo insospechadas consecuencias. Fue a raíz de este problema que Pascal publicó su famoso Tratado del triángulo aritmético, en el cual aparece por primera vez de manera clara el principio de inducción completa, tan importante en toda la matemática, si bien, como lo menciona Pierre Boutroux en un comentario a las obras de Pascal, dicho principio se encuentra ya en Francesco Maurolyco de Mesina (1494-1575).

El año 1713 es otra fecha memorable en la historia del cálculo de probabilidades: en él se publica la obra póstuma de Jacques Bernoulli titulada Ars Conjectandi, en la que aparece la fundamental «Ley de los grandes números». Más o menos de la misma época son los trabajos de Abraham de Moivre, francés exiliado en Inglaterra, quien estudia la «ruina de los jugadores» y obtiene la aproximación de la ley binomial por la distribución normal.

Es interesante observar cómo los aspectos más diferentes de una misma idea suelen aparecer en el desarrollo de la ciencia de manera casi simultánea, como si para ello fuera necesario cierto grado de madurez que permitiera ver de repente aspectos aislados de ella, aunque no el tronco esencial que permanece oculto entre el follaje todavía por algún tiempo. Así, en 1662, mientras Pascal y Fermat sometían al cálculo los juegos de azar, el inglés John Graunt publicaba en sucesivos boletines las listas de nacimientos y defunciones ocurridos en Londres. Poco después, en 1654, Christian Huygens, en Holanda, publicaba un tratado sobre probabilidades (De Ratiociniis in ludo aleae) en el que hacía uso de unas tablas de mortalidad hipotéticas, utilizadas por Johan De Witt (1671) para el cálculo de una renta viajera. En 1693 el astrónomo Edmond Halley publica las primeras tablas de mortalidad obtenidas a partir de observaciones reales. Nació con todo ello la estadística, ciencia de hombres prácticos, paralelamente a la teoría de las probabilidades, ciencia de jugadores e idealistas, y ambos aspectos diversos de un único tronco conceptual.

A mediados del siglo XVIII la unión entre estadística y probabilidad era todavía endeble y esporádica. La mayoría de los matemáticos trataba problemas aislados y concretos de probabilidades, mientras crecía la conciencia de que muchos problemas demográficos y sociales podrían someterse al cálculo. Se disponía, por un lado, de la ya poderosa herramienta del cálculo infinitesimal que desde Newton y Leibnitz, en manos de Euler, D’Alembert, Lagrange, etcétera, había alcanzado un elevado grado de perfección y, por otra parte, de muchos datos acumulados que esperaban ser analizados y tratados matemáticamente. Es entonces cuando aparece Laplace y, tomando el asunto en sus manos, publica entre 1770 y 1783, unas diez memorias fundamentales que aclaran muchos puntos del cálculo de probabilidades y suministran herramientas poderosas para su ulterior desarrollo. Varios años después, en 1812, Laplace resume, unifica y complementa todos estos trabajos en su Teoría Analítica de las Probabilidades, obra fundamental durante todo el siglo XIX, llena de resultados profundos, aunque de difícil lectura. Tal vez por esta dificultad publica, en 1814, su Ensayo filosófico sobre las probabilidades; constituye una excelente exposición, sin fórmulas, de los métodos y problemas de la teoría de las probabilidades, obra de interesante lectura, aún hoy, de la que se han hecho innumerables ediciones en casi todos los idiomas. En este tomo reproducimos alguno de sus capítulos.

Laplace no fue un gran creador de teorías ni un crítico de los fundamentos. Fue un extraordinario continuador, hasta límites insospechados, de las teorías iniciadas por otros, sea la mecánica de Newton o las probabilidades de Bernoulli y De Moivre, pero no se detiene a analizar con demasiado cuidado los fundamentos. Las bases de las que parte son a veces endebles, pues las toma tal como las encuentra en sus predecesores, pero con su inmensa capacidad e insuperable inventiva para artificios de cálculo, saca de las teorías el máximo provecho. Fue un virtuoso del análisis matemático.

En la teoría de las probabilidades, por ejemplo, pueden criticarse a Laplace tanto la definición misma de probabilidad como el haber continuado con ideas ambiguas (la esperanza moral de Daniel Bernoulli, por ejemplo); también sus aplicaciones discutibles, pero de moda en su época, como la probabilidad de los testimonios, de las decisiones judiciales o de las asambleas, y otros usos de la probabilidad en las ciencias morales. La definición de probabilidad adoptada por Laplace es la clásica: «Fracción cuyo numerador es el número de casos favorables y cuyo denominador es el número de todos los casos posibles», definición que el mismo Laplace se apresura en completar con la condición de que «sean igualmente posibles los diversos casos». Pero, ¿qué quiere decir igualmente posibles? Evidentemente, la definición no resiste un examen lógico riguroso, pero es difícil iniciarse en la teoría de las probabilidades sin tener esta definición —aun sabiéndola incorrecta— como punto de partida y faro de referencia. Por otra parte, la definición conjuntista de Kolmogoroff (1933), actualmente la más aceptada —con algunas variantes de un autor a otro—, no es más que la abstracción y axiomatización de tal definición intuitiva. En cuanto a las aplicaciones a las ciencias morales, tampoco es tan obvio que Laplace no estuviera en lo cierto al darles cabida en su Ensayo, pues ellas corresponden a la idea de probabilidad subjetiva o grado de creencia que, si bien conviene distinguir y separar de la probabilidad objetiva y estadística, sigue teniendo sus partidarios; resulta aventurado calificarla de errónea o de matemáticamente intratable.

Las teorías matemáticas nunca se han construido, al comienzo, sobre bases firmes e inmutables. A las altas cumbres se sube únicamente con equipaje ligero y saltando peligrosamente sobre inciertos puntos de apoyo; de aquí que haga falta mucha habilidad e ingenio. Más tarde, ya plantada la bandera en la elevada cresta, vendrán las legiones de pacientes trabajadores para rellenar huecos y apuntalar columnas; no faltará alguno que critique al iniciador por haberse apoyado en cimientos movedizos e inseguros y que no perciba que, sin tal audacia, su laboriosa tarea de relleno carecería de sentido, pues todo fundamento supone el conocimiento previo de lo que se desea fundamentar. Laplace, efectivamente, no edificó la teoría de probabilidades sobre bases firmes, pero los métodos que creó y los resultados a que llegó siguen siendo válidos y útiles después de todas las ulteriores fundamentaciones. Sus series recurrentes en varios índices han resultado un valioso instrumento matemático y el ejemplo mismo en que Laplace las aplica, el cálculo de la duración de un juego, fue el germen de muchas cuestiones importantes, como el camino al azar lineal y el análisis secuencial de Wald (1947). Su teoría de las funciones genera-trices es un poderoso instrumento que sigue siendo actual en todos los textos de probabilidades. Su teoría de desarrollos asintóticos para funciones dependientes de números muy grandes ha resultado de utilidad en muchos capítulos de la matemática y contiene la idea esencial del famoso teorema límite central del cálculo de probabilidades.

Otras muchas fueron las contribuciones de Laplace al cálculo de probabilidades, cálculo que, si bien no fundamentó, captó poderosamente en su esencia y le dio elementos indispensables para que pudiera crecer y desarrollarse vigorosamente. Una de las últimas frases de su Ensayo, que consideramos excelentes, y tal vez generalizable a toda la matemática y aun a toda la ciencia, es la siguiente: «Se ve, por este Ensayo, que la teoría de las probabilidades no es, en el fondo, más que el buen sentido reducido al cálculo; ella hace apreciar con exactitud lo que los espíritus justos sienten por una especie de instinto, sin que a menudo puedan darse cuenta de ello».

5. El nombre de Laplace en la matemática actual

Los estudiantes de matemática de hoy, de nivel universitario, encuentran el nombre de Laplace en varios puntos importantes. Vamos a mencionar los más usuales:

1) En la teoría de los determinantes es fundamental la «regla de Laplace» para desarrollar un determinante por menores complementarios. El trabajo fue publicado en 1772, poco después de llegar Laplace a París, en las Memorias de la Academia.

2) En toda la física matemática aparece constantemente la «ecuación de Laplace» (ΔV = 0), ecuación en derivadas parciales de segundo orden que define, por ejemplo, el potencial de un campo gravitatorio. Esta ecuación aparece en una memoria presentada a la Academia de Ciencias en 1782 y publicada en las Memorias de la misma en 1785. Si sólo se considera el primer miembro se tiene el operador «laplaciano», de gran utilidad tanto en matemática como en mecánica.

3) En cualquier libro de Análisis matemático o de Ecuaciones diferenciales se estudia actualmente la «transformada de Laplace», cuestión a la que se dedican textos íntegros. Laplace introdujo este poderoso instrumento de cálculo en su Teoría Analítica de las Probabilidades (1812), al tratar el llamado método de las funciones generatrices (método también indispensable actualmente en todo curso de probabilidades).

4) En el cálculo de probabilidades juega un papel fundamental la «distribución normal», como límite de la distribución binomial de Bernoulli, en la cual, si bien intervinieron varios autores, el papel de Laplace fue preponderante. De aquí que se la conozca como ley de Laplace o ley de De Moivre-Laplace o también de Laplace-Gauss, con ligeras variantes según el caso. Sucesivas mejoras de esta ley, que conserva siempre en el fondo la idea con que Laplace la introdujo, condujeron al teorema central del límite del moderno cálculo de probabilidades, enunciado por primera vez por Laplace y demostrado rigurosamente por Liapounoff en 1901.

5) En el campo de la filosofía natural o filosofía de las ciencias se encuentra también el nombre de Laplace, sea por su hipótesis cosmogónica, sea como representante cumbre del «determinismo». Según Laplace, dadas las condiciones de cualquier sistema en un momento dado, debe ser posible, al menos teóricamente, calcular el estado del sistema en cualquier instante de su evolución futura. Es la generalización a todo conjunto de lo que ocurre en la mecánica celeste. Dice Laplace en las primeras páginas de su Ensayo sobre las probabilidades: «Debemos considerar el estado presente del universo como el efecto de su estado anterior y como la causa del que debe seguirlo. Una inteligencia que en un instante dado conociera todas las fuerzas que animan la naturaleza y la situación respectiva de los seres que la componen y que, además, fuera suficientemente grande como para someter estos datos al análisis, abarcaría en la misma fórmula los movimientos de los cuerpos más grandes del universo y los átomos más pequeños; nada le sería incierto y tanto el futuro como el pasado estarían presentes ante sus ojos». Frases que se han considerado como la expresión más ortodoxa del determinismo físico.

L. A. S.

Los textos

La selección de los fragmentos que integran el presente estudio se ha efectuado sobre las ediciones siguientes:

Précis de l’histoire de l’Astronomie (Oeuvres complètes de Laplace), Paris, Gauthier-Villars, 1878-1912.

Origen del sistema solar (Nota VII de la Exposition du Système du Monde), publicada como apéndice en la obra Historia natural y teoría general del cielo de Manuel Kant, Buenos Aires, Lautaro, 1946. Traducción castellana de Manuel Sadosky.

Essai philosophique sur les probabilités (Oeuvres complètes de Laplace), Paris, Gauthier-Villars, 1878-1912.

Los fragmentos del Précis… y del Essai… han sido traducidos directamente del francés por Lina Isola Coda.

EXPOSICIÓN DEL SISTEMA DEL MUNDO

Libro V. Breve historia de la astronomía

Consideraciones sobre el sistema del mundo y sobre los futuros progresos de la astronomía

La reseña histórica de la astronomía presenta tres etapas diferentes relativas a los fenómenos, sus leyes, las fuerzas que determinan esas leyes y nos señalan la marcha de esta ciencia en su progreso que puede servir de ejemplo a las demás ciencias naturales. La primera etapa comprende las observaciones de los astrónomos que precedieron a Copérnico, acerca de las apariencias de los movimientos celestes y sus hipótesis para explicarlos y someterlos al cálculo.

En la segunda etapa, Copérnico infiere, de tales apariencias, los movimientos de la tierra sobre su eje y alrededor del sol, y Kepler descubre las leyes de los movimientos de los planetas. Por último, en la tercera etapa, Newton, basándose en esas leyes, postula el principio de la gravitación universal y, mediante la aplicación del análisis a dicho principio, los matemáticos hacen derivar de él todos los fenómenos celestes y las múltiples irregularidades en los movimientos de los planetas, los satélites y los cometas.

La astronomía resuelve así un gran problema de mecánica en el que los elementos de los movimientos astronómicos son las constantes arbitrarias. Alcanza, entonces, toda la certeza resultante del número inmenso y de la variedad de los fenómenos rigurosamente explicados, así como de la simplicidad del solo principio necesario para tales explicaciones.

No hay, pues, temor de que un nuevo astro se oponga a dicho principio sin que se pueda establecer por anticipado que su movimiento se cumplirá conforme a él, como lo hemos corroborado nosotros mismos con respecto a Urano y a los cuatro planetas telescópicos últimamente descubiertos; la aparición de cada cometa es una nueva prueba de ello.

Tal es, pues, indudablemente, la constitución del sistema solar. El inmenso globo del sol, foco principal de los distintos movimientos del sistema, tarda veinticinco días y medio en girar sobre sí mismo; su superficie está cubierta por una inmensa masa de materia luminosa; más lejos, los planetas con sus satélites se desplazan en órbitas casi circulares y en planos ligeramente inclinados con relación al ecuador solar. Gran cantidad de cometas, después de haberse acercado al sol, se apartan de él a distancias que demuestran que su acción va mucho más allá de los límites conocidos del sistema planetario. No sólo actúa dicho astro ejerciendo su atracción sobre todos esos globos obligándolos a moverse en torno de él, sino que les comunica su luz y su calor. Su benéfico influjo da vida a los animales y los vegetales que cubren la tierra, y la analogía nos permite suponer que efectos semejantes determina sobre los demás planetas, pues es lógico imaginar que la materia cuya fecundidad se nos manifiesta de todas maneras, no es estéril al tratarse de un planeta de la magnitud de Júpiter que presenta sus días, sus noches y sus años como el nuestro y en el que se han observado variaciones que acusan fuerzas muy activas.

El hombre, conformado para la temperatura de la Tierra, no podría, aparentemente, subsistir sobre los demás planetas, pero, ¿no habrá en ellos infinidad de organizaciones adaptables a las diversas temperaturas de los globos de este universo? Si la desigualdad de los elementos y de temperatura origina tanta variedad en la vida terrestre, cuánta mayor será en los diversos planetas y sus satélites. Por mucho que nos esforcemos, no podremos formarnos idea de ello; sin embargo, su existencia es, a lo menos, muy verosímil.

Por más que los elementos de los planetas sean arbitrarios, ofrecen sin embargo relaciones mutuas que pueden ilustrarnos sobre su origen. Por lo pronto, si lo pensamos bien, nos asombra que todos los planetas se muevan alrededor del sol de oeste a este conservando aproximadamente el mismo plano; los satélites giran en torno de sus planetas en igual sentido y casi dentro del mismo plano que los planetas y por último el sol, los planetas y los satélites cuyos movimientos de rotación han sido observados, giran sobre sí mismos sin alterar el sentido ni el plano aproximado de sus movimientos de proyección.

En cuanto a los satélites, ofrecen a este respecto, una particularidad importante: sus movimientos de rotación y de revolución son exactamente iguales, de modo que ofrecen siempre el mismo hemisferio a sus planetas. Esto, al menos, es lo que se observa en cuanto a la Luna, los cuatro satélites de Júpiter y el último satélite de Saturno, que son los únicos cuya rotación se ha verificado hasta ahora.

Tales fenómenos no obedecen a causas irregulares, sino que, sometida al cálculo su probabilidad, se pueden apostar más de doscientos billones contra uno a que no son obra del azar, probabilidad que supera en mucho a la de la mayoría de los acontecimientos históricos aceptados. Y, con la misma seguridad, debemos creer que los movimientos planetarios obedecen a una misma causa originaria.

Otro fenómeno igualmente significativo dentro del sistema solar es que las órbitas de los planetas y satélites ofrecen escasa excentricidad en tanto las de los cometas son muy alargadas y no hay gradación intermedia entre una excentricidad grande y otra pequeña. También aquí debemos reconocer el efecto de una causa regular; la forma casi circular de las órbitas de todos los planetas, no puede ser obra del azar, es forzoso reconocer que la misma causa que ha determinado el movimiento de esos cuerpos, los ha impulsado en órbitas casi circulares. Es menester, además, que la gran excentricidad de las órbitas de los cometas y la orientación de sus movimientos en todas direcciones, obedezcan necesariamente a la misma causa, pues, al considerar las órbitas de los cometas retrógrados con respecto a la eclíptica, resulta que la inclinación media de las órbitas de todos los cometas observados se aproxima mucho a cien grados, como debiera ocurrir si estos cuerpos hubieran sido lanzados al azar.

¿Cuál es esta causa originaria? En la nota final de esta obra expondré una hipótesis que me parece verosímil con respecto a los fenómenos precedentes, pero como no es la resultante de la observación y del cálculo, la presento con reserva.

Sea cual fuere la causa verdadera, lo cierto es que los elementos del sistema planetario están ordenados de modo que presentan la máxima estabilidad siempre que no haya causas ajenas que la perturban. Al ser los movimientos de los planetas y sus satélites casi circulares, orientados en la misma dirección y en planos poco diferentes, este sistema oscila alrededor de un estado medio del que no se aparta más que en magnitudes muy poco apreciables. Los movimientos de rotación y de revolución de estos diversos cuerpos son uniformes, las distancias medias que los separan de los focos de las principales fuerzas que los impulsan, son constantes y todas las irregularidades seculares, son periódicas. Las más importantes son las que gravitan sobre los movimientos de la Luna con respecto a su perigeo, a sus nodos y al Sol; ascienden a varias circunferencias pero se restablecen al cabo de gran número de siglos.

Durante este larguísimo lapso, se ofrecerían sucesivamente a la Tierra, todas las partes de la superficie lunar, sin la atracción de nuestro planeta que, al incluir en esas grandes irregularidades la rotación de la Luna, nos muestra incesantemente el mismo hemisferio del satélite y nos oculta eternamente el otro.

Así la atracción recíproca de los tres primeros satélites de Júpiter ha determinado originariamente y sigue manteniendo la relación observada entre sus movimientos, consistente en la longitud media del primer satélite, menos tres veces la del segundo, más dos veces la del tercero, siendo siempre igual a dos ángulos rectos.

Las atracciones celestes hacen que la duración del año se mantenga aproximadamente igual en cada planeta; el cambio de inclinación de su órbita con respecto al ecuador, comprendido entre límites estrechos, no determina más que pequeñas variantes en la temperatura de las estaciones. Es como si la naturaleza lo hubiera dispuesto todo en el cielo para asegurar la duración del sistema planetario del mismo modo que lo hizo en la Tierra para asegurar la conservación de los individuos y las especies.

La atracción de los grandes cuerpos que están en el centro de sistemas de planetas y satélites mantiene la estabilidad de estos sistemas que la acción recíproca de todos esos cuerpos y las atracciones extrañas tienden constantemente a perturbar. Si cesara la acción de Júpiter, los satélites que se mueven a su alrededor en un orden admirable, se dispersarían inmediatamente, unos alrededor del Sol, describiendo elipses muy alargadas, los otros, desplazándose indefinidamente en órbitas hiperbólicas. Del examen minucioso del sistema solar se desprende que es imprescindible la existencia de una poderosísima fuerza central para mantener el conjunto al sistema y la regularidad de sus movimientos.

Esto sólo bastaría para explicar la disposición del sistema solar si el matemático no fuera más lejos a buscar en las leyes primordiales de la naturaleza la causa de los fenómenos que obedecen al ordenamiento universal.

Algunos de ellos han alcanzado ya esas leyes, tales como la de la estabilidad de los polos terrestres en su superficie y la del equilibrio de los mares resultantes ambas del movimiento de rotación y de la gravitación universal e indispensables para la conservación de los seres organizados.

Debido a su rotación, la Tierra ha sido aplanada y su eje de revolución se ha convertido en uno de los ejes principales. Por eso los climas y la duración del día son invariables.

Por la fuerza de la gravedad las capas terrestres más densas se han acercado al centro de la Tierra, cuya densidad media supera así la de las aguas que la recubren, por lo que la estabilidad del equilibrio de los mares queda asegurada y la fuerza del oleaje refrenada. Estos fenómenos y otros similares permiten pensar que todos se subordinan a esas leyes por relaciones más o menos ocultas, cuya ignorancia debemos confesar mejor que sustituirla por causas que imaginamos en nuestro afán por desentrañar el origen de lo que buscamos.

No puedo dejar de reconocer a este respecto cuánto se ha apartado Newton del método del que, por otra parte, ha realizado excelentes aplicaciones. Después de la aparición de sus descubrimientos sobre el universo y sobre la luz, este gran matemático, lanzado a otro tipo de investigaciones, buscó las causas por las cuales el autor de la naturaleza dio al sistema solar la constitución que hemos expuesto. Después de explicar en el escolio final de sus Principios que el movimiento de los planetas y los satélites se realiza en el mismo sentido, en el mismo plano aproximado y en órbitas circulares, dice: «Todos esos movimientos tan regulares, no obedecen a causas mecánicas ya que los cometas se mueven en cualquier lugar del cielo y en órbitas muy excéntricas. […] Sólo un ser inteligente y todopoderoso pudo concebir esta admirable ordenación del Sol, los planetas y los cometas». En este mismo pensamiento insiste al final de su Optica y lo hubiera hecho con más fuerza de haber conocido lo que nosotros hemos demostrado, que la estabilidad de los planetas y los satélites se debe a las condiciones de ese ordenamiento.

«Nunca un destino ciego —advierte— hubiera podido impulsar a los planetas cuyas pequeñas irregularidades pueden proceder de la recíproca acción de los planetas y los cometas y que es posible que se acentúen después de largo tiempo hasta que ese, sistema tenga que ser reordenado por su autor». Pero, este ordenamiento de los planetas, ¿no puede proceder por sí mismo, de las leyes del movimiento y la inteligencia superior a que alude Newton, no pudo haberla desprendido de un fenómeno más general? Presumiblemente —pensamos nosotros— el de una materia nebulosa esparcida en distintas aglomeraciones a través de los espacios infinitos. ¿Es posible afirmar que el autor de la naturaleza haya pensado en la conservación del sistema planetario?

La recíproca atracción de los cuerpos de ese sistema no puede, como Newton supone, alterar su estabilidad, pero, si no existiera en el espacio celeste más fluido que la luz, su resistencia y la disminución que su emisión va originando en la masa del sol, deben paulatinamente destruir el ordenamiento de los planetas; para mantenerlo, se impondría, sin duda, una reforma.

Las innúmeras especies animales extinguidas cuya organización, a través de sus osamentas fósiles, ha descrito con raro acierto Cuvier, ¿no son indicio de la tendencia de la naturaleza a modificar las cosas más aparentemente estables? La grandeza del sistema solar no escapa a esta ley general que rige nuestra pequeñez, ya que, tan infinito como se nos aparece, no es más que una pequeña partícula en el universo. Si seguimos la historia del espíritu humano, de sus aciertos y sus errores, hallaremos las causas finales proyectadas hacia los límites de sus conocimientos. Estas causas que Newton traslada a los límites del sistema solar servían, aun en su época, para explicar los meteoros, pero para él no representan más que nuestra ignorancia sobre las verdaderas causas.

En su polémica con Newton, Leibniz, a propósito de la invención del cálculo infinitesimal, le criticó duramente la intervención de la divinidad en el reordenamiento del sistema solar. «Es tener ideas muy limitadas sobre la sabiduría y el poder de Dios», afirma.

Newton le replicó con una crítica igualmente severa a la armonía preestablecida de Leibniz: la llamó milagro eterno. La posteridad, aun sin admitir esas vanas hipótesis, ha hecho justicia a los trabajos matemáticos de ambos genios; el descubrimiento de la gravitación universal y los esfuerzos de su autor por asimilarla a los fenómenos celestes, inclinarán siempre a admiración y reconocimiento.

Veamos, ahora, más allá del sistema solar, esos infinitos soles diseminados por la inmensidad del espacio a tal distancia de nosotros que, observado desde sus centros el diámetro completo de la órbita terrestre, sería imperceptible. Muchas estrellas ofrecen en su color y en su brillo, variaciones periódicas notables que son indicios de grandes manchas en su superficie, alternativamente ocultas o visibles por los movimientos de rotación. Otras, aparecidas repentinamente, desaparecen luego de haber brillado algunos meses con extraordinario resplandor. Así fue la estrella que Tycho Brahe observó en 1572 en la constelación Casiopea. En poco tiempo aventajó su brillo al de las estrellas más brillantes y al mismo Júpiter. Su luz se fue extinguiendo hasta desaparecer a los dieciséis meses de descubierta. Su color sufrió variaciones notables: blanco resplandeciente primero, luego amarillo y por último, blanco plomizo como Saturno. ¡Qué extraordinarias variaciones se habrán producido en esos grandes cuerpos para ser apreciables a la distancia que nos separa de ellos! ¡Cómo han de superar a las que observamos en la superficie solar y cómo nos inducen a creer que la naturaleza no es siempre ni en todas partes, la misma! Todos esos astros ahora invisibles, no han cambiado de lugar durante su aparición. Existen, pues, en el espacio celeste, cuerpos opacos tan grandes y tal vez tan numerosos como las estrellas.

Es probable que en lugar de estar diseminadas a distancias casi simétricas, las estrellas están reunidas en grupos, algunos de los cuales, formados por miles de millones de astros. Es probable también, que nuestro Sol y las estrellas más luminosas pertenezcan a uno de esos grupos que observados desde aquí es como si rodeara el cielo y forma la Vía Láctea. La infinidad de estrellas que se observa simultáneamente en el campo de un telescopio poderoso orientado hacia la Vía Láctea comprueba su inmensa profundidad mil veces mayor que la distancia de Sirio a la Tierra; es posible que los rayos lanzados desde la mayoría de esas estrellas hayan tardado gran cantidad de siglos en llegar a nosotros. La Vía Láctea, acabaría por dar al observador que se alejara indefinidamente, la apariencia de una luz blanca y persistente de corto diámetro, pues la irradiación que persiste aun en los mejores telescopios, llenaría el espacio entre las estrellas. Es, pues, posible que muchas nebulosas sean grupos de infinidad de estrellas que, vistos desde su interior, semejarían la Vía Láctea.

Si se piensa en este incalculable número de estrellas y nebulosas diseminadas en el espacio celeste y en los intervalos inmensos que hay entre ellas, la imaginación, deslumbrada ante la magnitud del universo, difícilmente podría concebir sus límites.

Herschel, al observar las nebulosas con sus telescopios de gran poder, pudo seguir el proceso de su condensación, no de una sola, porque tales procesos no se los podría percibir sino a través de siglos, sino en su conjunto, como el crecimiento de los árboles en un bosque se calcula por las distintas épocas que incluye. Observó primero, la materia nebulosa diseminada en diferente cúmulos, por las distintas regiones del cielo en las que abarca una gran extensión. Advirtió en algunos de esos cúmulos esa materia ligeramente condensada rodeando a uno o varios núcleos algo brillantes. En otras nebulosas, esos núcleos brillan más intensamente que la nebulosidad que los envuelve.

Al desprenderse las atmósferas de cada núcleo por una condensación posterior, se originan múltiples nebulosas con sus núcleos brillantes muy próximos y envueltos cada uno por una atmósfera; la materia nebulosa, ciertas veces, al condensarse de una manera uniforme, origina las nebulosas llamadas planetarias. Finalmente un mayor grado de condensación, transforma todas esas nebulosas en estrellas.

Conforme a esta concepción filosófica las nebulosas señalan con la máxima verosimilitud, su futura transformación en estrellas y el anterior estado de nebulosidad de las estrellas existentes. De tal modo, mediante el proceso de la condensación de la materia nebulosa se llega a concebir el Sol antiguamente rodeado de una inmensa atmósfera. El examen de los fenómenos del sistema solar me ha llevado a esta consideración, como se verá en la última nota. Tan singular coincidencia, al seguir caminos opuestos, atribuye una gran probabilidad a la existencia de este antiguo estado del Sol.

Ligando la formación de los cometas a la de las nebulosas, se los llega a considerar como pequeñas nebulosas que ambulan de un sistema solar a otro, originadas por la condensación de la materia nebulosa, tan abundante en él universo. Los cometas vendrían a ser a nuestro sistema, lo que los aerolitos son respecto a la Tierra de la que parecen extraños. Cuando esos astros se nos hacen perceptibles, ofrecen una tal similitud con las nebulosas que, frecuentemente se los confunde con ellas y sólo se los distingue por su movimiento o por el conocimiento de todas las nebulosas existentes en la región del cielo por donde aparecen. Con esta hipótesis se explica la extensión que alcanzan las cabezas y las colas de los cometas a medida que se acercan al Sol; la rara particularidad de estas colas que, a pesar de su extremada profundidad no atenúan el brillo de las estrellas que se divisan a través de ellas; sus movimientos en todos los sentidos y sus órbitas de gran excentricidad.

De todo esto, fundado en las observaciones telescópicas, se desprende la gran complejidad del movimiento del sistema solar. La órbita de la Luna alrededor de la Tierra es casi circular, pero, vista desde el Sol parece describir una serie de epicicloides cuyos centros se hallan sobre la circunferencia de la órbita de la Tierra. Del mismo modo los epicicloides que describe la Tierra tienen sus centros en la curva que el Sol traza en torno al centro de gravedad del grupo de estrellas a que pertenece. Por último, la serie de epicicloides descritos por el Sol tiene sus centros en la curva que describe el centro de gravedad de ese grupo alrededor del Universo.

Señala un gran avance de la astronomía, el que podamos conocer el movimiento de la Tierra y los epicicloides descritos por la Luna y los satélites sobre las órbitas de sus respectivos planetas. Pero si el conocimiento de los movimientos del sistema planetario ha necesitado siglos, ¡qué tiempo extraordinario llevaría la determinación de los movimientos del Sol y las estrellas!

Se han observado ya esos movimientos cuyo conjunto parece indicar un movimiento convergente de todo el sistema solar hacia la Constelación de Hércules y es probable también que los movimientos aparentes de las estrellas sean una combinación de sus propios movimientos y los del Sol. Se observan asimismo movimientos muy particulares en las estrellas dobles o sea en las estrellas que, miradas con el telescopio parecen formadas por dos estrellas muy próximas. Esas dos estrellas giran una en torno de la otra, a veces en modo tan sensible que ha permitido establecer la duración aproximada de sus revoluciones a través de las observaciones de un corto número de años.

En lo que respecta a las estrellas, la astronomía del futuro se aplicará principalmente a los movimientos de las estrellas por sus paralajes, las variaciones periódicas del brillo de las estrellas variables y las duraciones de sus movimientos de rotación; a determinar las estrellas que no hacen más que aparecer y su posición en el instante de su brillo fugaz y por último a las sucesivas variaciones en las formas de las nebulosas ya visibles en algunas como en la bella nebulosa de Orión.

Los progresos de la futura astronomía dependerán de tres elementos: la medición del tiempo, la de los ángulos y la precisión de los instrumentos ópticos. Los dos primeros ya casi se han logrado; en cuanto al tercero es necesario concentrarse pues, es indudable que si se lograra dar muy grandes aberturas a los anteojos acromáticos, se descubrirían en el cielo fenómenos hasta ahora ocultos, especialmente si se tiene la precaución de llevarlos a la atmósfera pura y enrarecida de las altas montañas ecuatoriales.

Queda aún mucho por descubrir dentro de nuestro propio sistema. El planeta Urano y sus satélites, hasta hace poco desconocidos, permitían postular la existencia de planetas todavía no observados. Se había sospechado también la existencia de uno entre Júpiter y Marte para cumplir la progresión doble que existe aproximadamente en los intervalos entre las órbitas planetarias y la de Mercurio. Esta conjetura ha sido confirmada por el descubrimiento de cuatro pequeños planetas separados del Sol a distancias poco diferentes de las que esta progresión atribuye al planeta intermedio entre Júpiter y Marte. La acción que Júpiter ejerce sobre esos planetas, aumentada por la magnitud de las excentricidades y de las inclinaciones de sus órbitas entrelazadas, origina perturbaciones importantes en sus movimientos que alumbrarán la teoría de las atracciones celestes y la perfeccionarán aún más.

Los elementos arbitrarios de dicha teoría y la convergencia de sus aproximaciones dependen de la rigurosidad de las observaciones y la perfección del análisis que deben perseguir cada vez mayor exactitud.

Las grandes irregularidades seculares de los cuerpos celestes, que ya pueden observarse, y que son resultante de sus atracciones recíprocas aumentarán con los siglos. Las observaciones que los poderosos telescopios permiten hacer sobre los satélites, perfeccionarán las teorías sobre sus movimientos y, posiblemente, permitirán descubrir nuevos. La precisión y repetición de las medidas determinarán las irregularidades de la forma de la Tierra y de la gravedad en su superficie y, pronto, Europa toda estará atravesada por una red de triángulos por los que se podrá establecer exactamente la posición, la curvatura y el tamaño de cada una de sus partes. El flujo y el reflujo del mar y las variantes que ofrecen en los diversos puertos de ambos hemisferios, serán establecidos por gran número de observaciones y comparados con la teoría de la gravitación. Se determinará si los movimientos de la Tierra, rotación y revolución, son notablemente alterados por las variaciones de su superficie y por el choque de los aerolitos que, presumiblemente vienen de las profundidades del espacio.

La aparición de nuevos cometas, la observación de los que, describiendo órbitas hiperbólicas, ambulan de un sistema a otro; los retornos de los cometas que se desplazan en órbitas elípticas y las diferencias de forma y luminosidad que presentan en cada aparición; las perturbaciones que todos estos astros originan en los movimientos planetarios; las que experimentan ellos mismos y que en las proximidades de un gran planeta pueden modificar enteramente sus órbitas; por último, las alteraciones que producen las estrellas y tal vez también la resistencia de los medios etéreos, en los movimientos y las órbitas de los planetas y los satélites, son los principales objetivos que el sistema solar ofrece a las investigaciones de los astrónomos y matemáticos del futuro.

La astronomía, por la dignidad de su objeto y la perfección de sus teorías, es el más hermoso monumento del espíritu del hombre, el más noble título de su inteligencia.

Deslumbrado por sus sentidos ilusorios y por su vanidad, el hombre ha creído, durante mucho tiempo, ser el centro del movimiento de los astros y su orgullo ha sido castigado con los temores que le han provocado. Largos siglos de trabajo han corrido el velo que ocultaba a sus ojos el sistema del Universo. Entonces se ha visto ubicado en un planeta, que es un átomo del sistema solar cuya amplitud no es sino un punto imperceptible en el espacio inmenso. Esta comprobación lo ha llevado a conclusiones sublimes, lo ha consolado del lugar que atribuye a la Tierra mostrándole su propia grandeza sobre la infinita pequeñez de la base que le ha servido para medir el cielo. Conservemos cuidadosamente, aumentemos el caudal de tan profundos conocimientos, en los que se complacen los seres pensantes.

Han prestado inapreciable ayuda a la navegación y a la geografía; pero su mayor beneficio es haber vencido el miedo a los fenómenos celestes y los errores provenientes de la ignorancia de nuestros auténticos vínculos con la naturaleza, errores y temores que surgirán de nuevo si el resplandor de la ciencia llegara a extinguirse.

Nota VI. Origen del sistema solar

Para remontarse a la causa de los movimientos primitivos del sistema planetario se tienen […] los cinco fenómenos siguientes: los movimientos de los planetas en el mismo sentido, y casi en el mismo plano; los movimientos de los satélites en el mismo sentido que los de los planetas; los movimientos de rotación de estos diferentes cuerpos y del Sol en el mismo sentido que sus movimientos de proyección y en planos poco diferentes; la escasa excentricidad de las órbitas de los planetas y de los satélites; y finalmente, la gran excentricidad de las órbitas de los cometas, aunque sus inclinaciones hayan sido abandonadas al azar.

Que yo sepa, ha sido Buffon el único que, después del descubrimiento del verdadero sistema del mundo, ha tratado de remontarse al origen de los planetas y sus satélites. Supone Buffon que un cometa, cayendo sobre el Sol, ha apartado un torrente de materia que se juntó a lo lejos, en diversos globos más o menos grandes y más o menos alejados de este astro: una vez enfriados estos globos se hicieron opacos y sólidos y constituyeron los planetas y satélites.

Esta hipótesis satisface el primero de los cinco fenómenos precedentes, pues es claro que todos los cuerpos así formados deben moverse aproximadamente en el plano que pasa por el centro del Sol y por la dirección del torrente de materia que los ha producido; pero los otros cuatro fenómenos me parecen inexplicables por este medio. En verdad, el movimiento absoluto de las moléculas de un planeta debe ser entonces dirigido en el sentido del movimiento de su centro de gravedad; pero de ninguna manera se deduce que el movimiento de rotación del planeta esté dirigido en el mismo sentido; así, la Tierra podría girar de oriente a occidente y sin embargo, el movimiento absoluto de cada una de sus moléculas estaría dirigido de occidente a oriente, lo cual debe aplicarse al movimiento de revolución de los satélites, cuya dirección en la hipótesis que estamos tratando no es necesariamente la misma que la del movimiento de proyección de los planetas.

Un fenómeno, no sólo muy difícil de explicar con esta hipótesis, sino que le es contrario, es la escasa excentricidad de las órbitas planetarias. Se sabe por la teoría de las fuerzas centrales, que si un cuerpo que se mueve en una órbita entrante alrededor del Sol, rasa la superficie de este astro, volverá a hacerlo constantemente en cada una de sus revoluciones, de donde se deduce que si los planetas habían sido primitivamente desprendidos del Sol, lo tocarían en cada vuelta alrededor de este astro, y sus órbitas, lejos de ser circulares, serían muy excéntricas. Es cierto que un torrente de materia, apartado del Sol, no puede ser comparado exactamente con un globo que rasa su superficie: el impulso que reciben entre sí las partes de este torrente, y la atracción recíproca que mutuamente se ejercen, pueden, cambiando la dirección de sus movimientos, alejar sus perihelios del Sol. Pero sus órbitas deberían ser siempre muy excéntricas o, al menos, no hubieran podido tener todas pequeñas excentricidades, sino por obra del azar más extraordinario. En fin, no se ve en modo alguno con la hipótesis de Buffon, por qué las órbitas de más de cien cometas ya observadas son todas muy alargadas: esta hipótesis está muy lejos, por consiguiente, de satisfacer los fenómenos precedentes. Veamos si es posible elevarse hasta su verdadera causa.

Cualquiera que sea la naturaleza de este origen, puesto que ha producido o dirigido los movimientos de los planetas, es necesario que haya, abrazado todos estos cuerpos; y dadas las prodigiosas distancias que los separan, no puede haber sido sino un fluido de inmensa extensión. Para haberles dado en el mismo sentido, un movimiento casi circular alrededor del Sol, es necesario que el fluido haya rodeado este astro, como una atmósfera. La consideración de los movimientos planetarios nos conduce luego a pensar que, en virtud de un calor excesivo, la atmósfera del Sol se extendió primitivamente más allá de las órbitas de todos los planetas, y que se comprimió sucesivamente, hasta sus límites actuales.

En el estado primitivo en el que suponemos al Sol, se parecía a las nebulosas que el telescopio nos muestra compuestas de un número más o menos brillante, rodeado de una nebulosidad que, condensándose en la superficie del núcleo, lo transforma en estrella. Si se concibe, por analogía, a todas las estrellas formadas de esta manera, se puede imaginar su estado anterior de nebulosidad, precedido él mismo por otros estados en los cuales la materia nebulosa era de más en más difusa, siendo el núcleo cada vez menos luminoso. Se llega así, remontándose tan lejos como sea posible, a una nebulosidad difusa hasta tal punto, que apenas se podría sospechar su existencia.

Desde hace tiempo la disposición particular de algunas estrellas visibles a simple vista, ha impresionado a los observadores filósofos. Mitchel ha destacado ya cuán poco probable es que las estrellas de las Pléyades, por ejemplo, hayan sido encerradas en el estrecho espacio que las contiene por la simple casualidad del azar y ha opinado que este grupo de estrellas y los grupos semejantes que el cielo nos presenta son los efectos de una causa primitiva o de una ley general de la naturaleza. Estos grupos son un resultado necesario de la condensación de las nebulosas de varios núcleos pues es visible que la materia nebulosa, al estar atraída sin cesar por estos diversos núcleos, debe formar, andando el tiempo un grupo de estrellas análogo al de la Pléyades. La condensación de las nebulosas con dos núcleos formará, semejantemente, estrellas muy próximas que giran una alrededor de la otra, tal como sucede en las estrellas dobles, en las cuales se han reconocido ya los movimientos respectivos.

Pero, ¿cómo ha determinado la atmósfera solar los movimientos de rotación y de revolución de los planetas y de los satélites? Si estos cuerpos habían penetrado profundamente en esta atmósfera, su resistencia los habría hecho caer sobre el Sol; se puede, pues, conjeturar que los planetas han sido formados en estos límites sucesivos por la condensación de las zonas de los vapores, que han debido abandonar, al enfriarse, en el plano de su ecuador. […]

La atmósfera del Sol no puede extenderse indefinidamente: su límite es el punto en el cual la fuerza centrífuga, debido a su movimiento de rotación, equilibra el peso. Ahora bien, a medida que el enfriamiento estrecha la atmósfera, y condensa; en la superficie del astro las moléculas que le son próximas, aumenta el movimiento de rotación pues en virtud del principio de las áreas, siendo constante la suma de las áreas descriptas por el radio vector de cada molécula del Sol y de su atmósfera y proyectadas sobre el plano de su ecuador, la rotación debe ser más rápida cuando estas moléculas se acercan al centro del Sol.

La fuerza centrífuga, debida a este movimiento, se hacía así más grande; el punto en el que la gravedad le es igual está más cerca de este centro. Suponiendo, pues, como es natural admitir, que la atmósfera se haya extendido en una época cualquiera, hasta su límite, ha debido —al irse enfriando— abandonar las moléculas situadas en este límite y en los límites sucesivos producidos por el incremento de la rotación del Sol. Estas moléculas abandonadas han continuado circulando alrededor de este astro, puesto que su fuerza centrífuga estaba equilibrada por su peso. Pero como no se verificaba esta igualdad con respecto a las moléculas atmosféricas situadas en los paralelos del ecuador solar, éstas se han aproximado por su peso a la atmósfera a medida que ella se condensaba, y no han dejado de pertenecer a la misma en tanto que por este movimiento no se hubieran aproximado ya a ese ecuador.

Consideremos ahora las zonas de vapores abandonadas sucesivamente. Según toda verosimilitud, estas zonas han debido formar, por la condensación y atracción mutua de sus moléculas, diversos anillos concéntricos de vapores, que circulan alrededor del Sol. El frotamiento mutuo de las moléculas de cada anillo ha debido acelerar unos y retardar otros, hasta que hubieran adquirido un mismo movimiento angular. De este modo, las velocidades reales de las moléculas más alejadas del centro del astro han sido más grandes. La causa siguiente ha debido aún contribuir a esta diferencia de velocidades. Las moléculas más distantes del Sol, que por efecto del enfriamiento y de la condensación se han aproximado para formar la parte superior del anillo, han descripto siempre áreas proporcionales a los tiempos, puesto que la fuerza central de la que están animadas ha sido dirigida constantemente hacia este astro. Ahora bien, esta constancia de las áreas exige un incremento de velocidad, a medida que estas moléculas se van aproximando. Se ve que la misma causa ha debido disminuir la velocidad de las moléculas que se han elevado hacia el anillo, para formar su parte inferior.

Si todas las moléculas de un anillo de vapores continúan condensándose sin desunirse, formarán, al cabo de un tiempo, un anillo líquido o sólido. Pero la regularidad que exige esta formación, en todas las partes del anillo y en su enfriamiento, ha debido hacer extremadamente raro este fenómeno. También el sistema solar no ofrece más que un solo ejemplo, el de los anillos de Saturno. En casi todos los casos, cada anillo de vapores ha debido romperse en varias masas que, movidas con velocidades muy poco diferentes, han continuado circulando a la misma distancia alrededor del Sol. Estas masas han debido tomar una forma esferoidal, con un movimiento de rotación dirigido en el sentido de su revolución, puesto que sus moléculas inferiores tenían menos velocidad real que las superiores y así se han formado varios planetas desde el estado de vapores. Pero si uno de ellos ha sido bastante potente como para reunir sucesivamente, por su atracción, a todos los otros alrededor de su centro, el anillo de vapores habrá sido transformado de este modo en una sola masa esferoidal de vapores, que circula alrededor del Sol y con una rotación dirigida en el sentido de su revolución.

Este último caso ha sido el más común: sin embargo, el sistema solar nos ofrece el primer caso en los cuatro pequeños planetas que se mueven entre Júpiter y Marte, a menos que se suponga, con Olbers, que formaban primitivamente un solo planeta al cual una fuerte explosión ha dividido en varias partes animadas con diferentes velocidades.

Si seguimos ahora los cambios que un enfriamiento ulterior ha debido producir en los planetas; vaporosos, cuya formación acabamos de concebir, veremos nacer en el centro de cada una de ellas un núcleo, que se incrementa sin cesar por la condensación de la atmósfera que la rodea. En este estado, el planeta se parecería perfectamente al Sol en el estado de la nebulosa, que acabamos de considerar; el enfriamiento ha debido producir, pues, en los diversos límites de su atmósfera, fenómenos semejantes a los que hemos descrito, es decir, anillo y satélites que circulan alrededor de su centro en el sentido de su movimiento de rotación, y que giran en el mismo sentido sobre sí mismos. La distribución regular de la masa de los anillos de Saturno, alrededor de su centro y en el plano de su ecuador, resulta naturalmente de esta hipótesis, y sin ella resulta inexplicable: estos anillos me parece que son pruebas siempre subsistentes de la extensión primitiva de la atmósfera de Saturno y de sus sucesivas contradicciones. De este modo los singulares fenómenos de la escasa excentricidad de las órbitas de los planetas y satélites, de la poca inclinación de estas órbitas con respecto del ecuador solar y de la identidad del sentido de los movimientos de rotación y de revolución de todos estos cuerpos, con el de rotación del Sol, dimanan de la hipótesis que proponemos, y le dan una gran verosimilitud que aún puede ser aumentada por la siguiente consideración:

En todos los cuerpos que circulan alrededor de un planeta, al haber sido formados, según esta hipótesis, por las zonas que su atmósfera ha abandonado sucesivamente, y al haber hecho cada vez más rápido su movimiento de rotación, la duración de este movimiento debe ser menor que la de la revolución de estos diferentes cuerpos; lo que sensiblemente ocurre para el Sol comparado con los planetas[2]. Todo esto ha sido confirmado por las observaciones. La duración de la, revolución del anillo más próximo de Saturno es, según las observaciones de Herschel, 0d, 438[3], y la de la rotación de Saturno no es más que 0d, 427. La diferencia 0d, 011 es poco considerable, como debe ser, porque la parte de la atmósfera de Saturno que la disminución del calor ha depositado en la superficie de este planeta, al ser poco considerable, después de la formación del anillo, y al venir de una pequeña altura, ha debido aumentar poco la rotación del planeta.

Si el sistema solar se hubiera formado con una regularidad perfecta, las órbitas de los cuerpos que lo componen serian circunferencias cuyos planos, así como los de los diversos ecuadores y anillos, coincidirían con el plano del ecuador solar. Pero se concibe que las innumerables variedades que han debido existir en la temperatura y densidad de las diversas partes de estas grandes masas, han producido las excentricidades de sus órbitas, y las desviaciones de sus movimientos, del plano de este ecuador.

En nuestra hipótesis los cometas son extraños al sistema planetario. Considerándolos, tal como hemos hecho, como pequeñas nebulosas, errantes de sistemas en sistemas solares, y formados por la condensación de la materia nebulosa esparcida con tanta profusión en el universo, se ve que cuando llegan a la parte del espacio en donde la atracción del Sol es predominante, éste los fuerza a describir órbitas elípticas o hiperbólicas. Pero al ser igualmente posibles sus velocidades en todas las direcciones, deben moverse indiferentemente en todos los sentidos y bajo todas las inclinaciones respecto de la eclíptica, lo cual concuerda con lo observado De este modo resulta que la condensación de la materia nebulosa, por la cual acabamos de explicar los movimientos de rotación y de revolución de los planetas y de los satélites en el mismo sentido y bajo planos poco diferentes, explica igualmente por qué los movimientos de los cometas se desvían de esta ley general.

La gran excentricidad de las órbitas de los cometas es además un resultado de nuestra hipótesis. Si estas órbitas son elípticas, son muy alargadas, pues sus ejes mayores son por lo menos iguales al radio de la esfera de la actividad del sol. Pero estas órbitas pueden ser hiperbólicas, y si los ejes de estas hipérbolas no son muy grandes con relación a la distancia media del Sol a la Tierra, el movimiento de los cometas que las describen parecerá sensiblemente hiperbólico. Sin embargo, sobre cien cometas por lo menos, cuyos elementos se poseen, ninguno parece moverse en una hipérbola; es necesario pues, que la probabilidad de que resulta una hipérbola sensible sea extremadamente pequeña con relación a la probabilidad contraria. Los cometas son tan pequeños que no llegan a ser visibles más que cuando su distancia perihelia es poco considerable. Hasta el presente, esta distancia no ha sobrepasado más que dos veces el diámetro de la órbita terrestre y a menudo ha estado por debajo del radio de esta órbita. Se concibe que, para aproximarse tanto al Sol, su velocidad en el momento de la entrada en su esfera de actividad debe tener; una magnitud y una dirección comprendidas entre límites estrechos. Determinando, por el cálculo de probabilidades, el cociente de los casos que en estos límites dan una hipérbola sensible, con los casos que dan una órbita que puede confundirse con una parábola, he encontrado que hay por lo menos seis mil casos favorables contra uno de que una nebulosa que penetra en la esfera de actividad del Sol, de manera que pueda ser observada, describirá o una elipse muy alargada, o una hipérbola que, por la magnitud de su eje, se confundirá sensiblemente con una parábola, en la parte que se observa: entonces no tiene nada de sorprendente que, hasta ahora, no se hayan reconocido movimientos hiperbólicos.

La atracción de los planetas, y quizás la resistencia de los medios etéreos, ha debido cambiar varias órbitas de cometas en elipses cuyo eje mayor es mucho menor que el radio de la esfera de actividad del Sol. Este cambio puede resultar aún del encuentro de estos astros, pues se desprende de nuestra hipótesis sobre su formación, que debe haber un número prodigioso de ellos en el sistema solar, y que sólo pueden ser observados aquellos que se aproximan bastante al Sol, Se puede creer que un cambio de este tipo ha tenido lugar para la órbita del cometa de 1759, cuyo eje mayor no sobrepasa más que treinta y cinco veces la distancia del Sol a la Tierra. Un cambio aún más grande han tenido las órbitas de los cometas de 1770 y 1805.

Si algunos cometas han penetrado en las atmósferas del Sol y de los planetas en la época de su formación, han debido caer sobre estos cuerpos describiendo espirales y por su caída, desviar los planos de las órbitas y de los ecuadores de los planetas, del plano del ecuador solar.

Si en las zonas abandonadas por la atmósfera del Sol se han encontrado moléculas demasiado volátiles para unirse entre sí o a los planetas, al continuar circulando alrededor de este astro deben ofrecer todas las apariencias de la luz zodiacal, sin oponer resistencia sensible a los diversos cuerpos del sistema planetario, sea a causa de su extrema rareza, sea porque su movimiento es poco más o menos el mismo que el de los planetas que encuentran.

El examen profundo de todas las circunstancias de este sistema aumenta aún la probabilidad de nuestra hipótesis. La fluidez primitiva de los planetas está claramente indicada por el aplastamiento de su forma, conforme a las leyes de la atracción mutua de sus moléculas: está probada además por la Tierra, por la disminución regular del peso, yendo del ecuador a los polos. Este estado de fluidez primitivo al cual es llevado por fenómenos astronómicos, debe manifestarse en los hechos que nos presenta la historia natural.

Pero para encontrarnos allí es necesario tomar en consideración la inmensa variedad de combinaciones formadas por todas las sustancias terrestres mezcladas en el estado de vapores, cuando la disminución de la temperatura ha permitido que se unieran sus elementos; es necesario considerar luego los cambios prodigiosos que esta disminución ha debido llevar sucesivamente en el interior y en la superficie de la tierra, en todas sus producciones, en la constitución y la presión de la atmósfera, en los mares y en los cuerpos que han tenido en disolución. En fin, es necesario tomar en consideración los cambios bruscos, tales como las grandes erupciones volcánicas, que han debido perturbar, en diversas épocas, la regularidad de estos cambios. Orientada la geología según este punto de vista que la vincula a la astronomía, podrá, en muchos asuntos, adquirir precisión y certeza.

Uno de los fenómenos más singulares del sistema solar es la igualdad rigurosa que se observa entre los movimientos angulares de rotación y de revolución de cada satélite. Se puede apostar infinito contra uno que ello no es, en modo alguno, efecto del azar. La teoría de la gravitación universal hace desaparecer este infinito de esta inverosimilitud, mostrándonos que es suficiente para la existencia del fenómenos que en el origen hayan sido muy poco diferentes. Entonces la atracción del planeta establece entre ellos una perfecta igualdad; pero, al mismo tiempo, da nacimiento a una oscilación periódica en el eje del satélite, dirigida hacia el planeta, oscilación cuya amplitud depende de la diferencia primitiva de los dos movimientos. Las observaciones de Mayer sobre la libración de la luna y la que acaban de hacer, a mi ruego, sobre el mismo tema, Bouvard y Nicollet, al no permitir reconocer esta oscilación, permiten suponer que es muy pequeña la diferencia de la que depende; lo cual indica con gran verisimilitud una causa especial, que primero ha encerrado esta diferencia en límites muy estrechos, en los cuales la atracción del planeta ha podido establecer, entre los movimientos medios de la rotación y de la revolución, una igualdad rigurosa, y que luego ha terminado por destruir la oscilación que ha hecho nacer esta igualdad. Uno y otro de estos efectos resultan de nuestra hipótesis, pues se concibe que la Luna, en estado de vapores, formó, en virtud de la atracción potente de la Tierra, un esferoide alargado cuyo eje mayor debía estar dirigido sin cesar hacia este planeta, por la facilidad con la cual los vapores ceden a las más pequeñas fuerzas que los animan. Puesto que la atracción terrestre continuaba actuando de la misma manera, cuando la Luna estaba en estado fluido, al cabo del tiempo, acercándose sin cesar los dos movimientos de este satélite, ha debido eliminar su diferencia en los límites donde comienza a establecerse su igualdad rigurosa.

Luego, esta atracción ha debido aniquilar poco a poco la oscilación que esta igualdad ha producido en el eje mayor del esferoide, dirigido hacia la Tierra. Es así como los fluidos que recubren este planeta han destruido, por su frotamiento y por su resistencia, las oscilaciones primitivas de su eje de rotación, que ahora no está sujeto más que a la, mutación resultante de las acciones del Sol y la Luna. Es fácil convencerse de que la igualdad de los movimientos de rotación y de revolución de los satélites ha debido obstaculizar la formación de anillos y satélites secundarios, por las atmósferas de estos cuerpos. También la observación no ha indicado, hasta el presente, nada semejante a esto.

Los movimientos de los tres primeros satélites de Júpiter presentan un fenómeno más extraordinario aún que el precedente, y que consiste en que la longitud media del primero menos tres veces la del segundo, más dos veces la del tercero, es constantemente igual a dos ángulos rectos. Se puede apostar infinito a uno que esta igualdad no es en modo alguno debida al azar. Pero se ha visto que para producirla ha sido suficiente que, en el origen, los movimientos medios de estos tres cuerpos se hayan aproximado fuertemente a satisfacer la relación que hace nulo el movimiento medio del primero, menos tres veces el del segundo, más dos veces el del tercero. Entonces su atracción mutua establece rigurosamente esta relación; y además ha igualado constantemente a la semicircunferencia, la longitud media del primer satélite, menos tres veces la del segundo, más dos veces la del tercero. Al mismo tiempo ha dado nacimiento a una desigualdad periódica que depende de la pequeña cantidad según la cual los movimientos medios se desvían primitivamente de la relación que acabamos de enunciar. A pesar del mucho cuidado que puso Delambre para reconocer esta desigualdad mediante observaciones, no pudo lograrlo, lo cual prueba su pequeñez extrema y por consiguiente indica con gran verosimilitud la existencia de una causa que la ha hecho desaparecer. Según nuestra hipótesis, los satélites de Júpiter, inmediatamente después de su formación, no se han movido en un vacío perfecto: las moléculas menos condensables de las atmósferas primitivas del Sol y del planeta formaban entonces un medio rarificado donde la diferente resistencia para cada uno de estos astros, ha podido aproximar, poco a poco, sus movimientos medios, a la relación que se trata; y cuando estos movimientos han alcanzado así las condiciones requeridas para que la atracción mutua de los tres satélites estableciera rigurosamente esa relación, la misma resistencia a disminuido sin cesar la desigualdad que esta relación ha hecho nacer, y la ha hecho finalmente insensible. No se pueden comparar mejor estos efectos que con el movimiento de un péndulo animado de una gran velocidad, en un medio muy poco resistente. Describirá primero un gran número de circunferencias, pero al cabo del tiempo su movimiento de circulación siempre decreciente, se cambiará en un movimiento de oscilación, que, al disminuir cada vez más por la resistencia del medio, terminará por aniquilarse; entonces el péndulo habrá llegado al estado del reposo y permanecerá así incesantemente.

(Apéndice al tratado: Historia Natural y Teoría General del Cielo, de Manuel Kant. Buenos Aires, Lautaro, 1946).

ENSAYO FILOSÓFICO SOBRE LAS PROBABILIDADES

Introducción

Este ensayo filosófico es la exposición de una lección sobre probabilidades que di en 1795 en las Escuelas Normales donde fui designado profesor de Matemáticas, junto con Lagrange, por decreto de la Convención Nacional. Poco después publiqué una obra sobre el mismo asunto titulada: Teoría analítica de las probabilidades.

Aquí presento, sin valerme del Análisis, los principios y resultados generales de esa teoría aplicados a los problemas fundamentales de la vida que, en su mayoría, no son en el fondo más que problemas de probabilidades. Rigurosamente hablando, se puede afirmar también que casi todos nuestros conocimientos no son más que probables y en el reducido número de cosas que se pueden conocer con certeza, aun en las ciencias matemáticas, los principales procedimientos para llegar a la verdad —la inducción y la analogía— descansan en las probabilidades, de modo que todo el sistema de los conocimientos humanos está ligado a la teoría que expongo en este ensayo. En su transcurso se verá, tal vez con interés, que aun cuando sólo se consideren las oportunidades favorables, constantemente unidas a los principios eternos de razón, justicia y humanidad, es muy útil seguirlos y es peligroso apartarse de ellos: sus probabilidades, como las favorables en las loterías, al final prevalecen siempre entre las oscilaciones del azar.

Aspiro a que las reflexiones diseminadas en este ensayo merezcan la atención de los filósofos y la orienten hacia una finalidad digna de sus preocupaciones.

De la probabilidad

Todos los acontecimientos, incluso aquellos que por su pequeñez parece que escapan a las grandes leyes naturales, forman un encadenamiento tan necesario como las revoluciones del Sol. En la ignorancia de las relaciones que guardan con el sistema total del universo, se los ha supeditado a causas finales o al azar, según ocurrieran o se repitieran con regularidad o sin orden aparente; pero esas causas imaginarias han cedido poco a poco ante nuestros conocimientos y desaparecen frente a la sana filosofía que las considera como la expresión de nuestra ignorancia de las causas verdaderas.

Los acontecimientos actuales se vinculan a los precedentes en virtud del principio evidente de que nada puede comenzar a ser sin una causa que lo produzca. Este axioma, conocido con el nombre de principio de razón suficiente, vale también para las acciones que se consideran indiferentes. No hay voluntad por más libre que sea, que pueda originarlas sin un motivo determinante, pues, al ser absolutamente semejantes las circunstancias de dos situaciones, si obrara en una con preferencia a la otra, la elección sería un efecto sin causa, sería —dice Leibniz— el ciego azar de los epicúreos. Lo contrario es una ilusión del espíritu que, al perder de vista las razones transitorias de la elección de la voluntad en las cosas indiferentes, se convence de que se ha determinado a sí misma y sin motivos.

Hay, pues, que considerar el estado actual del universo como efecto de su estado precedente y como causa del que lo sucederá. Una inteligencia que en un determinado instante pudiera conocer todas las fuerzas que impulsan la naturaleza y la respectiva posición de los seres que la componen y que, además tuviera la suficiente amplitud para someter esos datos al análisis, incluiría en una sola fórmula los movimientos de los mayores cuerpos del universo y los más ínfimos átomos; nada le escaparía y tanto el pasado como el futuro estarían en su presencia. El espíritu humano brinda un atisbo de tal inteligencia que se manifiesta en la perfección a que ha sabido llevar la astronomía. Y puede, merced a sus descubrimientos en mecánica y en geometría, unidos al de la gravitación universal, comprender en las mismas expresiones analíticas, los estados pasados y futuros del sistema universal. Al aplicar idéntico procedimiento a otros objetos de su conocimiento alcanzó a concretar en leyes generales los fenómenos observados y predecir los que acaecerán en determinadas circunstancias. Todos sus esfuerzos en pos de la verdad lo aproximarán continuamente a esa inteligencia que acabamos de describir aunque sin entrar nunca en su contacto. Esta peculiar aspiración de nuestra inteligencia la ubica por encima de los animales y los progresos obtenidos señalan las naciones y los siglos y constituyen su verdadera gloria.

Pensemos que en una época no muy remota, una lluvia o una sequía prolongadas, un cometa de larga cola, los eclipses, las auroras boreales y, en general cualquier fenómeno extraordinario, se concebían como signos de cólera celeste. Se invocaba al cielo para conjurar su nefasta influencia. No se le rogaba por que interceptara el curso de los planetas y del Sol; la observación hubiera en seguida demostrado la inutilidad de tales súplicas. Pero como esos fenómenos aparecían y desaparecían espaciosamente, se los interpretaba como opuestos al orden universal, se suponía que el cielo, irritado por los crímenes del mundo, los provocaba para anunciar su castigo. La larga cola del cometa de 1456 sembró el pánico por Europa desalentada ya por los triunfos de los turcos que habían abatido el Bajo Imperio. Después de cuatro revoluciones, este astro excitó nuestro interés de muy diverso modo. El conocimiento de las leyes que rigen el sistema del mundo, adquirido en ese lapso, había desvanecido los temores engendrados por la ignorancia de las verdaderas relaciones entre el hombre y el universo y Halley, que había descubierto la identidad del cometa con los de los años 1531, 1607 y 1682, predijo su retorno para fines de 1758 o principios de 1759. Los científicos aguardaron ansiosamente esa vuelta que debía confirmar uno de los más importantes descubrimientos científicos con la que se cumplía también la profecía de Séneca cuando, al referirse a la revolución de estos astros que proceden de distancias inmensas, afirmaba: «Vendrá el día en que, mediante el estudio continuado de los siglos, las cosas ahora ocultas, resultarán evidentes y la posteridad se asombrará de que no hayamos conocido verdades tan claras». Clairaut sometió al Análisis las perturbaciones que la acción de los dos planetas mayores, Júpiter y Saturno habían ocasionado al cometa; después de muchos cálculos pudo predecir su próximo paso por el perihelio para principios de abril de 1759, lo que se verificó. Esta misma regularidad que la astronomía nos señala con respecto al movimiento de los planetas, aparece en todos los fenómenos. La curva trazada por una simple molécula de aire o de vapor responde a la misma precisión de las órbitas planetarias. Toda diferencia en ellas, es producto de nuestra ignorancia.

La probabilidad se vincula en parte con nuestra ignorancia y en parte con nuestro saber. Sabemos que de tres o más acontecimientos sólo uno acaecerá, pero nada nos induce a creer que se cumplirá uno con preferencia sobre los otros. Tal incertidumbre nos impide pronunciarnos exactamente sobre su verificación. Sin embargo, es probable que uno de esos acontecimientos, tomado al azar, no ocurra, porque vemos muchos casos igualmente posibles de existencia, pero sólo una la favorece.

La teoría del azar consiste en llevar todos los acontecimientos semejantes a una cierta cantidad de casos igualmente posibles, es decir, que nos despierten la misma duda sobre su existencia y en establecer el número de casos favorables al hecho cuya probabilidad se persigue. La relación de este número con el de todos los casos posibles da la medida de esa probabilidad que no consiste más que en una fracción cuyo numerador es el número de los casos favorables y el denominador el de los casos probables.

Este concepto de probabilidad supone que si aumenta en la misma proporción el número de casos favorables y el de los posibles, la probabilidad permanece constante. Para convencernos, tomemos dos urnas A y B. La primera contiene cuatro bolillas blancas y dos negras y la segunda sólo dos blancas y una negra. Imaginemos las dos bolillas negras de la primera urna unidas por un hilo que se rompe en el momento de querer sacar una de ellas; las cuatro bolillas blancas forman dos sistemas semejantes. Las probabilidades que harían tomar una de las bolillas del grupo negro, harán extraer una bolilla negra.

Al romperse el hilo que une las bolillas, es evidente que el número de casos posibles no se altera, así como el de los casos favorables a la extracción de bolillas negras, pero se sacarán dos bolillas a la vez; la probabilidad de extraer una bolilla negra no ha variado, es la misma. Queda la urna B en la que las tres bolillas son sustituidas por tres sistemas de dos bolillas invariablemente ligadas.

Cuando en un acontecimiento coinciden todos los casos favorables, su probabilidad se transforma en certeza y su expresión resulta igual a la unidad. Bajo este aspecto, probabilidad y certeza son comparables, aunque entre los dos estados del espíritu hay una diferencia fundamental; cuando una verdad le es absolutamente demostrada y cuando reconoce todavía una pequeña causa de error.

Si se trata de cosas verosímiles, la diferencia entre los datos que cada hombre posee sobre ellas, es una de las causas fundamentales de las distintas opiniones sobre los mismos objetos. Supongamos por ejemplo, que se tienen tres urnas, A, B y C. Una de ellas contiene sólo bolillas negras y las otras dos no contienen más que bolillas blancas; se debe extraer una bolilla de C y se desea saber qué probabilidad existe de que esa bolilla sea negra. Si se ignora cuál es la urna que contiene sólo bolillas negras, de modo que no existe motivo para creer que sea C más que A o B, estas tres hipótesis parecerán igualmente posibles y, como una bolilla negra no se puede obtener más que de la primera hipótesis, la probabilidad de su extracción es igual a ⅓.

Si se conoce que la urna A no contiene más que bolillas blancas, la incertidumbre pasa a B y C, y la posibilidad de que la bolilla extraída de C sea negra es igual a ½. Por último la probabilidad se transforma en certeza cuando se tiene la seguridad de que las urnas A y B no contienen más que bolillas blancas.

Análogamente, un mismo hecho presentado ante una asamblea numerosa, será aceptado diversamente según los conocimientos de los oyentes. Si la persona que lo relata está absolutamente convencida de él, si logra inspirar gran confianza, su narración por extraordinaria que sea, tendrá para los oyentes sin mayores alcances, la misma verosimilitud que un hecho común presentado por la misma persona y le creerán ciegamente.

Pero, si alguno de los oyentes sabe que ese hecho no es aceptado por otras personas igualmente respetables, dudará y el hecho será considerado falso por los oyentes ilustrados que lo verán contrario o bien a los hechos comprobados, o bien a las invariables leyes de la naturaleza. La difusión de estos errores que en tiempos de ignorancia se han desparramado por el mundo, se debe a la influencia de aquellos reputados instruidos por la multitud y en quienes suele depositar su confianza sobre los más importantes hechos de la vida. La magia y la astrología son los dos grandes ejemplos de ellos.

Estos errores recibidos desde la infancia, aceptados sin prueba, sin más apoyo que la creencia universal, han perdurado largamente, hasta que el progreso de las ciencias los ha aniquilado en el espíritu de los hombres cultos, quienes los han desterrado después del mismo pueblo, mediante el poder de imitación y de costumbres que los había difundido. Este poder, gran resorte del mundo moral, crea y conserva en toda una nación ideas enteramente contrarias a las que alimenta en otra parte con la misma fuerza.

¡Qué indulgentes debemos ser con las opiniones diferentes de las nuestras ya que esta desigualdad no se debe, generalmente más que a los distintos puntos de vista en que las circunstancias nos han ubicado! ¡Ilustremos a los que consideramos insuficientemente instruidos; pero examinemos previamente con rigor nuestras opiniones y meditemos con imparcialidad en sus respectivas probabilidades!

La desigualdad en las opiniones obedece también a cómo influyen los datos conocidos. La teoría de las probabilidades va unida a consideraciones tan delicadas que, naturalmente, con los mismos datos, dos personas llegan a resultados diferentes, sobre todo en cuestiones complicadas.

Veamos los principios generales de esta teoría.

Principios generales del cálculo de probabilidades

Primer principio

El primero de estos principios está contenido en la definición misma de probabilidades que, como vimos, consiste en la razón entre el número de casos favorables y el de todos los casos posibles.

Segundo principio

Lo cual supone que todos los casos diversos son igualmente posibles. De no serlo, habrá que determinar primero sus respectivas probabilidades, cuya exacta apreciación constituye uno de los puntos más delicados de la teoría del azar. Entonces se establecerá la probabilidad mediante la suma de las probabilidades de cada caso favorable.

Supongamos que lanzamos al aire un tejo grande y muy delgado, cuyas dos caras opuestas, que llamaremos cara y cruz, son exactamente iguales. Tratemos de encontrar la probabilidad de sacar «cara» al menos una vez en dos tiradas. Pueden ocurrir cuatro casos con la misma posibilidad a saber: «cara», en la primera y segunda largadas; «cara» en la primera y «cruz» en la segunda; «cruz» en la primera y «cara» en la segunda y finalmente, «cruz» en las dos.

Los tres primeros casos favorecen el hecho cuya probabilidad se busca, la cual es, por lo tanto, igual a ¾, de modo que es posible apostar tres contra uno a que resultará «cara» por lo menos una vez, en dos tiradas.

En este juego pueden ocurrir tres casos diferentes: «cara» en la primera jugada, lo que exime de arrojar una segunda vez; «cruz» en la primera y «cara» en la segunda y por último «cruz» en las dos con lo que la probabilidad quedaría reducida a ⅔ si con D’Alembert, atribuimos a estos dos casos la misma posibilidad.

Evidentemente, la probabilidad de obtener «cara» en la primera tirada es, en tanto que en los otros dos casos es al ser el primero un acontecimiento simple que corresponde a los dos compuestos, «cara» en la primera y en la segunda largada y «cara» en la primera, «cruz» en la segunda.

Si conforme al segundo principio se añade la posibilidad ½ de sacar «cara» en la primera jugada a la posibilidad ¼ de hacer «cruz» en la primera jugada y «cara» en la segunda, se obtendrá ¾ para la probabilidad que se persigue, lo que coincide con el resultado obtenido en el supuesto de que se realicen las dos jugadas. Tal supuesto no modifica la suerte del que apuesta a este acontecimiento; se limita sólo a reducir los diversos casos a casos igualmente probables.

Tercer principio

Uno de los temas más importantes de la teoría de las probabilidades y el más ilusorio, es el modo en que las probabilidades aumentan o disminuyen por sus recíprocas combinaciones. Si se trata de acontecimientos independientes, la probabilidad de la existencia de su conjunto es el producto de las probabilidades parciales. Así, si la probabilidad de sacar un as con un solo dado, es ¹/₆, la de sacar dos ases jugando con dos dados a la vez, es de ¹/₃₆. En efecto, si cada una de las caras de uno puede combinarse con las seis caras del otro, resultan treinta y seis casos igualmente probables, de los cuales sólo uno, presenta dos ases. En general, la probabilidad de que en idéntica circunstancias un hecho simple ocurra determinado número de veces, es igual a la probabilidad de este hecho simple elevado a la potencia indicada por ese número.

Así como las potencias sucesivas de una fracción menor que la unidad disminuyen continuamente, un acontecimiento supeditado a una serie de probabilidades puede hacerse enormemente verosímil.

Imaginemos que un hecho llegue a nuestro conocimiento a través de veinte testigos de modo que el primero lo haya comunicado al segundo, éste, al tercero y así sucesivamente y que la probabilidad de cada testigo sea igual a ⁹/₁₀: la del hecho resultante de los testigos será inferior a ⅛. Cabe comparar esta disminución en la probabilidad con la pérdida de nitidez de los objetos por la intercalación de varios fragmentos de vidrio; unos cuantos trozos de vidrio bastan para impedir la visión de un objeto que, a través de un solo vidrio se puede percibir nítidamente.

Los historiadores parecen no haber tenido muy en cuenta esta disminución de la probabilidad de los hechos cuando se los enfoca, a través de numerosas generaciones sucesivas; muchos acontecimientos históricos, aceptados como verdaderos, serían al menos dudosos si se los sometiera a análogo procedimiento.

En el campo de las ciencias puramente matemáticas las más remotas consecuencias participan de la certidumbre del principio al cual están sometidas. Aplicando el Análisis a, la Física las consecuencias participan de toda la certeza de los hechos o de las experiencias. Pero en las ciencias morales, donde cada consecuencia no es deducida más que con verosimilitud de la que le precede, por más probabilidad que encierren estas deducciones, la posibilidad de error aumenta con su número y concluye por exceder la posibilidad de verdad en las consecuencias muy distantes del principio.

Cuarto principio

Si dos acontecimientos dependen el uno del otro, la probabilidad del acontecimiento compuesto es el producto de la probabilidad del primero por la probabilidad de que si ocurre este acontecimiento, ocurrirá el otro. Así, en el caso anterior, tres urnas A, B y C, de las cuales dos no contienen más que bolillas blancas, y una sola, bolillas negras, la probabilidad de extraer una blanca de C es ⅔, pues de las tres urnas, dos encierran sólo bolillas blancas.

Pero si se ha sacado una bolilla blanca de la urna C, como la incertidumbre con respecto a dicha urna que no contiene más que bolillas negras sólo alcanza a A y B, la probabilidad de sacar una bolilla blanca de B es ½; el producto de ⅔ por ½ o sea ⅓ es la posibilidad de obtener simultáneamente dos bolillas blancas de B y C. En efecto, para ello es menester que A sea de los tres recipientes el que contenga bolillas negras y su probabilidad es, indudablemente, ⅓.

De este ejemplo resalta la influencia de los acontecimientos pasados sobre la probabilidad de los futuros. Pues, la probabilidad de sacar una bolilla blanca de B, que originariamente es ⅔, queda reducida a ½ cuando se ha obtenido una bolilla blanca de C, pero se transforma en certidumbre si se obtiene una bolilla negra de la misma urna.

Estableceremos esta influencia por el próximo principio, que es un corolario del precedente.

Quinto principio

Si se calculan a priori la probabilidad del hecho producido y la de un hecho compuesto de él y de otro que se aguarda, la segunda probabilidad dividida por la primera, será la probabilidad del hecho esperado, deducida del hecho observado.

Se plantea aquí la cuestión suscitada por ciertos filósofos acerca de la influencia del pasado sobre la probabilidad del futuro.

Supongamos que, en el juego de «cara o cruz», se presente «cara» más frecuentemente que «cruz»; sólo podríamos pensar que la causa de esa frecuencia existe en la constitución del tejo.

Igualmente, la felicidad constante no prueba más que la habilidad de la vida que, para producirla, hace actuar a las personas felices preferentemente.

Ahora bien, si la inestabilidad de las circunstancias nos lleva incesantemente a una situación de completa incertidumbre; si en el juego de «cara o cruz», por ejemplo, se realiza cada jugada con un tejo diferente, entonces el pasado no puede incidir sobre el futuro y sería un absurdo considerarlo.

Sexto principio

Cada una de las causas a las que puede referirse un hecho observado está indicada con tanta mayor verosimilitud cuanta mayor probabilidad tiene de producirse el acontecimiento si se supone dicha causa existente; la probabilidad de la existencia de una cualquiera de estas causas es, pues, una fracción cuyo numerador es la posibilidad del hecho producido por dicha causa y el denominador es la suma de las posibilidades semejantes referentes a, todas las causas.

Si, consideradas a priori, estas causas tienen distinta probabilidad en vez de la probabilidad del hecho producido por cada causa, hay que utilizar el producto de esta probabilidad por la probabilidad de la causa.

Tal es el principio fundamental de esta parte del análisis del azar, que consiste en ascender de los hechos a las causas. Este principio indica el motivo por el cual se atribuyen los hechos regulares a una causa determinada. Ciertos filósofos creen que estos acontecimientos son menos probables que los otros y en el juego de «cara o cruz» que dimos como ejemplo, la combinación en que se obtiene «cara» veinte veces seguidas, es más difícil para la naturaleza que aquéllas en que «cara» y «cruz» salen confundidas irregularmente.

Esta manera de pensar supone que los hechos pasados repercuten en la posibilidad de los futuros, lo que es inadmisible. Las combinaciones regulares se presentan con menos frecuencia porque son menos numerosas. Si buscamos una causa donde encontramos simetría, no es porque juzguemos el hecho simétrico con menos posibilidad que los otros, sino que, como este acontecimiento debe ser producido por una causa regular o por el azar, la primera suposición es más probable que la segunda.

Encontramos tipos de imprenta sobre una mesa dispuestos en este orden: Constantinopla, y pensamos que esta combinación no depende del azar, no porque sea imposible —ya que si esta palabra no existiera en ningún idioma no le atribuiríamos una causa particular— sino porque al ser usada entre nosotros, es mucho más probable que alguien haya dispuesto los caracteres en ese orden y no que tal combinación sea fruto del azar.

Se impone aquí la definición de la palabra «extraordinario». Ordenamos mentalmente todos los hechos posibles en distintas clases y consideramos extraordinarios los de las clases que abarcan un número muy reducido de ellos. En el juego de «cara o cruz», si aparece «cara» cien veces seguidas, nos resulta extraordinario porque, al distribuirse las combinaciones que pueden presentarse en cien jugadas consecutivas, en series regulares que ofrecen un orden fácil de comprender y en series irregulares, las irregulares resultan mucho más numerosas.

Si sale una bolilla blanca de una urna que contiene un millón de negras, una sola blanca nos parece extraordinario porque no concebimos más que dos clases de hechos respecto a los dos colores. Pero la salida del número 475.812 por ejemplo, de la caja que contiene un millón de números, nos resulta natural porque, al comparar individualmente los números entre sí, sin distribuirlos en clases, no hay ningún motivo para que salga uno más que otro.

De lo que antecede se deduce que, cuanto más extraordinario sea un hecho, tanto más debe apoyarse en sólidas pruebas, pues pudiendo engañar o ser engañados los que lo comprueban, estas dos causas tienen tanta mayor probabilidad cuanto menos realidad tiene el hecho en sí.

Esto se verá detalladamente al ocuparnos de la probabilidad de los testimonios.

Séptimo principio

La probabilidad de un hecho futuro se obtiene por la suma de los productos de la probabilidad de cada causa, deducida del hecho observado, por la probabilidad de que, tal existir dicha causa, el acontecimiento futuro se realice. Con el ejemplo que sigue se aclarará este principio.

Supongamos una urna que no contiene sino dos bolillas, y que cada una sea blanca o negra. Se saca una de las dos bolillas que se introduce nuevamente en la urna para repetir la operación de extraer una bolilla. Imaginemos que en las dos primeras extracciones se obtuvieron bolillas blancas; se quiere saber ahora la posibilidad de sacar una bolilla blanca en una tercera extracción.

No caben aquí más que dos hipótesis: o una de las bolillas es blanca y la otra negra, o las dos son blancas. En el primer caso, la posibilidad del hecho observado es ¼; en el segundo es la unidad o sea, la certeza.

Así, tomadas estas hipótesis como causas, según el sexto principio, sus respectivas probabilidades serán ¹/₅ y ⁴/₅. Ahora, si la primera hipótesis se realiza, la probabilidad de sacar una bolilla blanca en la tercera extracción es de ½ y en la segunda hipótesis, la unidad; y si multiplicamos estas últimas probabilidades por las de las hipótesis correspondientes, la suma de los productos, ⁹/₁₀, dará la probabilidad de extraer una bolilla blanca en la tercera operación.

Cuando se ignora la probabilidad de un hecho simple se le pueden atribuir, del mismo modo, todos los valores entre cero y uno. La probabilidad de cada una de estas hipótesis deducida del hecho observado es, según el sexto principio, una fracción cuyo numerador consiste en la probabilidad del hecho en dicha hipótesis y el denominador, la suma de las probabilidades semejantes correspondientes a todas las hipótesis.

Resulta así que la probabilidad de que la posibilidad del acontecimiento esté incluida dentro de los límites dados, es la suma de las fracciones contenidas entre esos límites.

Si multiplicamos cada fracción por la probabilidad del hecho futuro, establecida en la hipótesis respectiva, la suma de los productos correspondientes a todas las hipótesis será, conforme al séptimo principio, la probabilidad del hecho futuro deducido del acontecimiento observado.

Se tiene así que, si un hecho se repite seguidamente cualquier cantidad de veces, la probabilidad de que ocurra una vez más es igual a este número más uno y dividido por este mismo número más dos.

Por ejemplo: haciendo llegar la más remota época de la historia a cinco mil años o sea a 1.826.213 días y habiendo salido el sol invariablemente durante ese lapso en cada período de veinticuatro horas, se puede apostar 1.826.214 veces contra uno a que saldrá también mañana. Pero esta cifra es infinitamente mayor para quien en conocimiento por el conjunto de los fenómenos, del principio regulador de los días y las estaciones, vea que nada detendrá su curso en la actualidad.

En su aritmética política, Buffon calcula de distinto modo esta probabilidad. Supone que sólo se diferencia de la unidad en una fracción que tiene la unidad por numerador y el número dos elevado a una potencia cuyo exponente es igual al número de días transcurridos desde aquella época. Pero Buffon desconocía la verdadera forma de ascender de los acontecimientos pasados a la posibilidad de las causas y de los hechos futuros.

De la esperanza

La probabilidad de los acontecimientos sirve para establecer la esperanza o el temor de los individuos interesados en su realización.

La palabra esperanza tiene varios significados; generalmente se refiere a la ventaja del que espera un bien cualquiera dentro de hipótesis que sólo son probables. Dentro de la teoría del azar, esta ventaja resulta del producto de la suma esperada por la probabilidad de recibirla; debe recuperarse la suma parcial cuando no se quieren correr las contingencias del hecho, suponiendo que la repartición sea proporcional a las probabilidades. Cuando no se tienen en cuenta todas las circunstancias extrañas, ésta es la única repartición justa porque el mismo grado de probabilidad da el mismo derecho a la suma esperada.

Designaremos con el nombre de esperanza matemática esta ventaja.

Octavo principio

Cuando la ventaja está subordinada a muchos acontecimientos, para obtenerla hay que considerar la suma de los productos de la probabilidad de cada acontecimiento por el beneficio unido a su verificación.

Apliquemos el principio a algunos ejemplos: supongamos que en el juego de «cara o cruz» Pablo recibe dos francos si obtiene «cara» en la primera jugada y cinco francos si solamente la extrae en la segunda. Multiplicando 2 francos por la probabilidad ½ del primer caso y 5 francos por la probabilidad ¼ del segundo, la suma de los productos, 2 ¼ francos será la ventaja de Pablo. Es la suma que debe adelantar a quien le ha dado esta ventaja, pues para equilibrar el juego, la postura debe igualar a la ventaja que proporciona.

Si Pablo obtiene 2 francos al sacar «cara» en la primera jugada y 5 en la segunda, aun en el supuesto de que la hubiese obtenido en la primera, la probabilidad de obtener «cara» en la segunda tirada es ½ y multiplicando 2 francos y 5 francos por ½, la suma de estos productos será igual a 3 ½ francos, lo que representará la ventaja de Pablo, y por lo tanto será también su apuesta en el juego.

Noveno principio

En una serie de acontecimientos posibles, de los cuales algunos producen beneficios y otros ocasionan pérdida, la ventaja resultante se obtendrá mediante la suma de los productos de la probabilidad de cada acontecimiento favorable por el beneficio que rinde, deduciendo de esta suma la de los productos de la probabilidad de cada acontecimiento desfavorable por la pérdida que entraña.

Si la segunda suma es superior a la primera, el beneficio se transforma en pérdida y la esperanza en temor.

En la vida se debe tratar de equilibrar, al menos, el producto del beneficio que se espera por su probabilidad con el análogo producto relativo a la pérdida. Pero para obtenerlo se deben apreciar exactamente los beneficios, las pérdidas y sus probabilidades respectivas. Esto exige gran ecuanimidad, tacto y experiencia de las cosas; es indispensable precaverse de los prejuicios, cuidarse de las ilusiones del temor y la esperanza y de las falsas ideas de fortuna y felicidad con que la mayoría de los hombres satisface su amor propio.

La aplicación de estos principios a la cuestión siguiente ha sido dura prueba para los matemáticos.

Pablo juega a «cara o cruz»: ha de recibir 2 francos si obtiene «cara» en la primera jugada, 4 francos si sólo la obtiene en la segunda, 8, si no la saca más que en la tercera, y así sucesivamente. Según el octavo principio, su postura debe igualar el número de jugadas, de manera que si el juego se prolonga al infinito, las posturas deben ser también infinitas.

Pero ningún hombre prudente sería capaz de exponer en este juego siquiera una pequeña suma, 50 francos pongamos por caso.

¿De dónde procede esta diferencia entre el resultado del cálculo y lo que aconseja el sentido común? Se comprendió en seguida que procedía de que la ventaja moral que nos beneficia no equivale a esa utilidad y está supeditada a mil circunstancias generalmente difíciles de definir, pero de las cuales la más general e importante es la fortuna. Evidentemente, un franco representa mucho más para quien no tiene más que cien, que para el millonario.

En el beneficio esperado hay, pues, que distinguir entre su valor absoluto y su valor relativo, que se rige por los motivos que lo hacen desear, mientras que el absoluto es independiente. No es posible establecer un principio general para aquilatar este valor relativo. Sin embargo, hay uno propuesto por Daniel Bernoulli, que puede ser útil en muchos casos.

Décimo principio

El valor relativo de una suma infinitamente pequeña es igual a su valor absoluto dividido por el bien total de la persona interesada. Lo cual supone que todo hombre posee siempre algún bien cuyo valor no puede ser nunca considerado nulo. Efectivamente, aun el que nada tiene atribuye al producto de su trabajo y a sus esperanzas un valor al menos equivalente a lo que le es indispensable para subsistir.

Sometiendo este principio al análisis, se obtiene la siguiente regla:

Si se considera como unidad la parte de la fortuna de una persona que no depende de sus expectativas, si se establecen los distintos valores que esa fortuna puede recibir mediante esas expectativas y sus probabilidades, el producto de ciertos valores elevados respectivamente a las potencias señaladas por tales probabilidades será la fortuna física que daría al individuo la misma ventaja moral que obtiene de la parte de su fortuna considerada como unidad de ese producto; la diferencia será el aumento de la fortuna física debido a las expectativas; no quedando más que la unidad de ese producto, la diferencia será el incremento de la fortuna física debido a las expectativas.

Daremos a este incremento el nombre de esperanza moral. Se advierte fácilmente que coincide con la esperanza matemática cuando la fortuna considerada como unidad se hace infinita con respecto a las variaciones que le imprimen las expectativas. Pero cuando tales variaciones constituyen una parte apreciable de dicha unidad, las dos esperanzas pueden diferir fundamentalmente entre sí.

Esta regla lleva a resultados coincidentes con lo que el sentido común aconseja, pudiéndose así apreciar con cierta exactitud. De lo que antecede tenemos que, si la fortuna de Pablo es de 200 francos, no debe, ciertamente, apostar más de 9. La misma regla lleva también a distribuir el riesgo entre las varias partes de un bien que se espera antes que exponer el bien íntegro al mismo peligro. Igualmente resulta que, aun en el juego más equilibrado, la pérdida es siempre relativamente mayor que la ganancia.

Por ejemplo, si un jugador cuya fortuna asciende a 100 francos expone en el juego de «cara o cruz», 50 francos, después de la apuesta su fortuna quedará reducida a 87 francos, vale decir, que esta suma le proporcionará la misma ventaja moral que la fortuna después de la apuesta. El juego es entonces desventajoso aun cuando la postura iguale el producto de la suma esperada por su posibilidad. Por eso se puede apreciar la inmoralidad de los juegos en los cuales la suma esperada es inferior a ese producto. No perduran más que por los falsos razonamientos y la codicia que despiertan y que, al llevar a la gente a inmolar lo necesario a vanas esperanzas cuya inverosimilitud no puede discernir, son el origen de muchos males.

El perjuicio de los juegos, la ventaja de no exponer al mismo riesgo todo el beneficio esperado y todos los resultados semejantes aconsejados por el buen sentido, persisten no importa cuál sea la función de la fortuna física que, para cada individuo, representa su fortuna moral. Es suficiente que la causa del incremento de esta función respecto del aumento de la fortuna física, disminuya a medida que ésta se acreciente.

Aplicación del cálculo de probabilidades a las ciencias morales

Acabamos de considerar las ventajas de la teoría de las probabilidades en la investigación de las leyes de los fenómenos de la naturaleza, cuyas causas o son desconocidas o son tan complejas que sus efectos escapan al cálculo. En las instituciones humanas actúan tantas causas imprevistas, ocultas o imponderables que no podemos a priori postular sobre sus resultados. La sucesión de los acontecimientos producidas por el tiempo engendra esos resultados y proporciona los medios para corregir los perjudiciales.

Sobre esto se han dictado frecuentemente leyes sabias, pero como se había descuidado la consideración de los motivos, muchas han sido desechadas por inútiles y, para restablecerlas, hubo que recurrir nuevamente a experiencias molestas. Por eso es muy importante considerar cada aspecto de la administración pública, un registro exacto de los resultados obtenidos por los medios empleados, son otras tantas experiencias intensamente realizadas por los gobiernos.

Apliquemos a las ciencias políticas y morales el método basado en la observación y el cálculo, tan eficaz para las ciencias naturales. No opongamos estéril resistencia, frecuentemente peligrosa, a los inevitables resultados del progreso de la ilustración, pero no alteremos sino con extremada cautela nuestras instituciones y las costumbres seguidas durante mucho tiempo. La experiencia del pasado nos señala claramente sus inconvenientes, pero no conocemos el alcance de los males que su transformación puede ocasionar.

Frente a tal ignorancia, la teoría de las probabilidades aconseja evitar todo cambio especialmente los bruscos que, tanto en lo moral como en lo físico no se producen nunca sin gran desperdicio de fuerza viva. El cálculo de las probabilidades ha sido ya ensayado exitosamente en muchas cuestiones de las ciencias morales.

Ofreceré aquí sus principales resultados.

De la probabilidad de los testimonios

Como la mayor parte de nuestros juicios se basa en la probabilidad de los testimonios, es muy importante someterlos al cálculo. Aunque esto resulta frecuentemente imposible, por la dificultad de establecer la veracidad de los testigos y la cantidad de circunstancias que se presentan unidas a los hechos atestiguados.

Sin embargo, muchas veces es posible resolver problemas que tienen gran semejanza con las cuestiones propuestas y cuyas soluciones pueden considerarse como acercamientos propicios para encaminarnos y librarnos de los errores y peligros a que nos exponen los razonamientos desvirtuados. Una tal aproximación, cuando está bien orientada, es siempre preferible a los razonamientos particulares. Procuremos ofrecer algunas reglas generales para alcanzarla.

Se ha sacado un solo número de una urna que contiene mil. Un testigo afirma que ha salido el número 79; se desea saber cuál es la posibilidad de esa salida.

Si sabemos por experiencia que ese testigo miente una vez sobre diez, la probabilidad de su testimonio será 9/10. En este caso el hecho observado es el mismo testigo que asegura que ha salido el número 79. Este hecho puede resultar de una de estas dos hipótesis: o el testigo dice la verdad, o el testigo miente. Según el principio anteriormente observado, es necesario establecer a priori la probabilidad del hecho dentro de cada hipótesis.

En la primera, la probabilidad de que el testigo anuncie el número 79 es la probabilidad misma de la salida del número o sea 1/1000. Multiplicada por la probabilidad 9/10 de la veracidad del testimonio se tendrá 9/1000 como probabilidad del hecho presenciado.

Si el testigo no es veraz, el número 79 no ha salido; la probabilidad será en este caso 999/1000. Pero como para anunciar ese número el testigo debió elegirlo entre los 999 restantes, y como se piensa que no tiene ninguna razón para preferir un número más que otro, la probabilidad de que haya escogido el 79 resulta 1/999; multiplicada esta probabilidad por la anterior, se obtiene 1/1000 para la posibilidad de que el testigo afirme la salida del número 79 en la segunda hipótesis. Al multiplicar esta probabilidad por la probabilidad 1/10 de la hipótesis se obtiene 1/10.000 para la posibilidad del hecho correspondiente a esta hipótesis.

Formando una fracción cuyo numerador sea la probabilidad de la primera hipótesis, y cuyo denominador la suma de las probabilidades relativas a ambas, se tendrá, por el sexto principio, la probabilidad de la primera hipótesis 9/10, es decir, la veracidad misma del testigo y también la probabilidad de la salida del número 79. La probabilidad de que el testigo haya mentido o de que el número no haya salido, es 1/10.

Si el testigo, al querer engañar, lo hizo movido por algún interés en elegir el 79 entre todos los demás números no aparecidos; si por ejemplo, por una importante apuesta hecha sobre ese número, el anuncio de su salida aumentaría su crédito, la probabilidad de que lo hubiere elegido no sería ya 1/999; podría ser 1/2, 1/3, etcétera, según su interés en anunciarlo. Suponiendo que sea 1/9, habrá que multiplicar esta fracción por la probabilidad 999/1000 para obtener, en la hipótesis de que mienta, la probabilidad del hecho observado que hay que multiplicar también por 1/10, lo que da 111/10.000 como probabilidad del hecho en la segunda hipótesis. Por la regla anterior, la probabilidad de la primera hipótesis, o sea la salida del número 79, queda entonces reducida a 9/120. Está, pues, muy disminuida por la reflexión sobre el interés del testigo en anunciar el número 79.

En realidad, este mismo interés aumenta la probabilidad 9/10 sobre la veracidad del testigo, si aparece el número 79. Pero esta probabilidad no puede ser superior a la unidad o sea 10/10; en esa forma, la posibilidad de la aparición del número 79 no excederá a 10/121. El sentido común nos indica que ese interés debe despertar desconfianza, pero el cálculo nos permite valorar su influencia.

La probabilidad a priori del número anunciado por el testigo consiste en la unidad dividida por el total de números contenidos en la urna; en virtud del testimonio se convierte en la veracidad misma del testigo que puede ser disminuida por el propio testimonio. Como ejemplo: si la urna contiene dos números solamente, lo que arroja 1/2 para la probabilidad a priori de que aparezca el número 1, y si la veracidad del testigo que la expresa es 4/10, esta aparición se torna más improbable. Está claro que como el testigo se inclina más a la mentira que a la verdad, su testimonio disminuye la probabilidad del hecho atestiguado, siempre que esta probabilidad sea igual o mayor que 1/2.

Pero al haber tres números en la urna, la probabilidad a priori de la salida del número 1 se acrecienta por la afirmación de un testigo cuya veracidad sobrepase a 1/3.

Supongamos ahora que la urna contiene 999 bolillas negras y una blanca y que al extraer una bolilla de la urna el testigo asegura que es blanca.

Establecida a priori en la primera hipótesis la probabilidad del hecho observado, será aquí, como en el caso anterior, igual a 9/10.000. Pero según la hipótesis de que el testigo miente, la bolilla blanca no ha salido y la probabilidad es 999/1000. Multiplicada por la probabilidad 1/10 de la mentira, produce 999/10.000 como probabilidad del hecho observado referente a la segunda hipótesis.

En el caso anterior esta probabilidad no era más que 1/10.000; la enorme diferencia está en que, al salir una bolilla negra, el testigo, si quiere mentir, para anunciar la aparición de la bolilla blanca no tiene por qué elegir entre las 999 bolillas.

Ahora bien, si formamos dos fracciones cuyos numeradores sean las probabilidades de cada hipótesis y cuyo común denominador, la suma de esas probabilidades, obtendremos 9/1008 como probabilidad de la, segunda hipótesis y de la extracción de una bolilla negra. Esta última probabilidad es la que más se aproxima a la certeza y lo haría mucho más dando 999999/1000008 si en la urna hubiera un millón de bolillas de las cuales sólo una fuera blanca siendo, entonces, mucho más extraordinaria su aparición. Vemos cómo aumenta la probabilidad de la mentira a medida que el acontecimiento se hace más raro.

Hasta ahora supusimos que el testigo no se equivocaba, pero si añadimos la posibilidad del error, el hecho extraordinario va resultando más inverosímil. Se tendrán entonces, en lugar de dos hipótesis, estas cuatro: la del testigo que no engaña y no se equivoca, la del testigo que engaña y no se equivoca; la del testigo que no engaña y se equivoca y por último la del testigo que engaña y se equivoca. Determinando a priori la probabilidad del hecho comprobado en cada caso, tenemos, conforme al sexto principio, que la probabilidad de la falsedad del hecho es igual a una fracción cuyo numerador consiste en la cantidad de bolillas negras contenidos en la urna, multiplicada por la suma de las probabilidades de que el testigo no engañe y se equivoque o de que engañe y no se equivoque, y cuyo denominador es el mismo numerador aumentado en la suma de las probabilidades que el testigo no engañe y no se equivoque o que engañe y se equivoque a la vez. Vemos que si la cantidad de bolillas negras de la urna es muy grande, lo que hace extraordinaria la aparición de la bolilla blanca, la probabilidad de que este hecho no se realice, se acerca considerablemente a la certeza.

Aplicando esta conclusión a todos los acontecimientos extraordinarios, resulta que la probabilidad de error o mentira del testigo aumenta cuanto más raro sea el hecho denunciado. Ciertos autores han sostenido lo contrario basándose en que, al ser absolutamente semejantes la observación de un hecho extraordinario y la de uno ordinario, los mismos motivos nos harán creer por igual al testigo cuando afirma cualquiera de esos acontecimientos.

El sentido común no admite afirmación tan insólita, y el cálculo de probabilidades que confirma la posición del sentido común, valora también la inverosimilitud de los testimonios sobre esos acontecimientos extraordinarios.

Pero aquellos autores insisten y suponen dos testigos igualmente dignos de crédito: el uno que afirma haber visto muerta una persona hace quince días, y el otro que asegura haberla visto ayer plena de vida. En ninguno de los dos casos hay nada de inverosímil. La resurrección de la persona es una consecuencia de su conjunto, pero como ninguno de los dos testigos la afirma directamente, lo que puede haber en ella de extraordinario no debe disminuir la creencia que se le debe. (Encyclopédie, art. «Certitude»).

Sin embargo, si la consecuencia resultante del conjunto de los testimonios fuera imposible, uno de los dos tendría que ser necesariamente falso. Ahora bien, toda consecuencia imposible es el término de las consecuencias extraordinarias, así como el error es el término de las inverosimilitudes; por lo tanto, el valor de los testimonios que en el caso de una consecuencia imposible desaparece, debe disminuir fundamentalmente en el caso de una consecuencia extraordinaria. El cálculo de probabilidades lo confirma.

Para comprobarlo tomemos dos urnas A y B. La primera contiene un millón de bolillas blancas y la segunda igual cantidad de negras. Se extrae una bolilla de una de las urnas y se coloca en la otra, y de esta urna se saca luego otra bolilla. Dos testigos, uno de la primera operación y el otro de la segunda, sostienen que la bolilla que han visto aparecer es blanca sin indicar de qué urna procede. Considerando cada testimonio por separado, el hecho no tiene nada de inverosímil y se advierte fácilmente que la probabilidad del acontecimiento declarado es la veracidad misma del testigo.

Del conjunto de los testimonios se infiere que de la urna A se ha sacado una bolilla blanca en la primera extracción y que, puesta luego en la B, ha vuelto a salir por segunda vez, acontecimiento harto extraordinario ya que la urna B no contiene más que una bolilla blanca entre un millón de negras. La probabilidad de obtenerla es 1/1.000.001. Para establecer la disminución que ello determine en la probabilidad del hecho afirmado por los dos testigos, diremos que aquí el hecho observado es la declaración hecha por cada uno de ellos en el sentido de que la bolilla que ha visto aparecer es blanca.

Expresemos con 9/10 la probabilidad de que se dice la verdad, lo que puede haber sucedido en este caso si el testigo no engaña ni se equivoca, o si engaña y se equivoca a la vez. Caben las cuatro hipótesis siguientes:

1) Los dos testigos dicen la verdad. En este caso, primero se ha obtenido uno bolilla blanca de A y su probabilidad es 1/2 ya que la bolilla obtenida pudo muy bien proceder de cualquiera de las dos urnas.

Luego, la bolilla extraída, colocada en B, ha vuelto a salir en la segunda extracción; la probabilidad es 1/1.000.001 para este acontecimiento y la probabilidad del hecho declarado por los testigos resulta, pues, 1/2.000.002; multiplicado por el producto de las probabilidades 9/10, y 9/10 de los testigos son veraces, se obtendrá en esta primera hipótesis 81/200.000.200 para la probabilidad del hecho observado.

2) El primer testigo dice la verdad y el segundo, no: engaña y no se equivoca o no engaña y se equivoca. Aquí se ha sacado de la urna una bolilla blanca en la primera extracción y la probabilidad de este acontecimiento es 1/2. Introducida luego esta bolilla en B, ha salido de esta urna una bolilla negra; la probabilidad de esta operación es 1.000.000/1.000.001, y como probabilidad del acontecimiento compuesto tenemos 1.000.000/2.000.002. Multiplicada por el producto de las dos probabilidades 9/10 y 1/10 de que el primer testigo es veraz y el segundo miente, se tendrá en esta segunda hipótesis 9.000.000/2.000.000.200 como probabilidad del hecho observado.

3) El primer testigo no dice la verdad y el segundo sí. En la primera extracción se ha sacado una bolilla negra de la urna B, y después de haberla depositado en la A, se ha obtenido de esta urna una bolilla blanca. La probabilidad para el primer caso es 1/2 y para el segundo 1.000.000/1.000.901, la probabilidad del acontecimiento compuesto es 1.000.000/2.000.002 que multiplicado por el producto de las probabilidades 1/10 y 9/10 de que el primero no diga la verdad y el segundo sí, resultará 9.000.000/200.000.200 como probabilidad del hecho observado con respecto a esta hipótesis.

4) Ninguno de los dos testigos dice la verdad. En la primera extracción ha salido una bolilla negra de la urna B, la que puesta en seguida en la urna A ha reaparecido en la segunda operación; la posibilidad de este hecho compuesto es 1/2.0002.002. Al multiplicarla por el producto de las probabilidades 1/10 y 1/10 de que ninguno de los dos testigos sea veraz, se tendrá para esta hipótesis 1/200.000.200 como probabilidad del hecho presentado.

Ahora bien, para alcanzar la probabilidad del acontecimiento indicado por los testigos, o sea de que ha salido una bolilla blanca cada vez, hay que dividir la probabilidad de la primera hipótesis por la suma de las probabilidades correspondientes a las cuatro hipótesis, y se obtiene entonces para esta probabilidad 81/180.000.082 que es una fracción sumamente pequeña.

Si de los dos testigos, el primero asegura que ha salido una bolilla blanca de una de las dos urnas, A y B, y el segundo que también ha aparecido una bolilla blanca de una de dos urnas A’ y B’ completamente análogas a las dos primeras, la probabilidad del hecho afirmado por los dos testigos sería el producto de las probabilidades de sus testimonios, es decir, 81/100, por lo menos ciento ochenta mil veces mayor que la anterior. Así comprobamos cómo se reduce su valor, en el primer caso, por la reaparición, por segunda vez, de la bolilla blanca obtenida en la primera; consecuencia extraordinaria de los dos testimonios.

No creeríamos en la afirmación de una persona que, habiendo arrojado cien dados al aire, asegurara que han caído todos sobre la misma cara. Y si hubiéramos presenciado nosotros mismos tal acontecimiento, no daríamos fe a nuestra vista sino después de prolijo examen de todas las circunstancias y de haber acudido al testimonio de otros ojos para no creernos víctimas de alucinación o encantamiento. Sólo después de prolijo examen, podríamos admitirlo a pesar de su excesiva inverosimilitud, sin que a nadie se le ocurriera pretender alterar las leyes de la visión para explicarlo.

Según eso concluimos que la probabilidad de la firmeza de las leyes naturales vale para nosotros más que la no realización del hecho, probabilidad que supera ella misma a la de la mayoría de los hechos históricos aceptados como irrefutables. Se puede apreciar de ello qué magnitud de testimonios se requiere para admitir la cesación de las leyes naturales y qué arriesgado sería aplicar a ese caso las reglas corrientes de la crítica.

Todos quienes, sin presentar esa cantidad de testimonios, sostienen lo que ellos afirman sobre narraciones de hechos que contrarían esas leyes, en lugar de robustecer la fe que pueden inspirar, la disminuyen, pues en ese caso todos los relatos hacen muy posible el error o la mentira de sus autores. Lo que debilita la creencia de los sabios, fortifica la del vulgo, siempre al acecho de lo maravilloso.

Ocurren cosas tan extraordinarias cuya inverosimilitud no tiene parangón, pero una opinión dominante puede aminorar esa inverosimilitud hasta hacerla parecer inferior a la probabilidad de los testimonios; cuando esa opinión se modifica, un absurdo relato de ella, unánimemente admitido en su época, resulta para los siglos sucesivos una prueba más de la enorme influencia que la opinión general ejerce aun sobre los más altos espíritus. Racine y Pascal, dos grandes hombres del siglo de Luis XIV, son ejemplos sorprendentes.

Es doloroso comprobar con qué satisfacción Racine, el admirable intérprete del corazón humano y el poeta más perfecto que ha existido, refiere como milagrosa la cura de la joven Périer, sobrina de Pascal e interna de la abadía de Port-Royal; aflige leer los argumentos con los cuales Pascal trata de demostrar que la religión necesitaba de ese milagro para justificar la doctrina de las religiones de esa abadía, a la sazón perseguida por los jesuitas.

Hacía tres años y medio la joven Périer sufría de una fístula lacrimal; bastó que tocara su ojo con una reliquia que atribuían a una espina de la corona del Salvador, para que se creyera inmediatamente curada. Pocos días después los médicos y los cirujanos verificaron la curación y aseguraron que no había sido obra de la naturaleza ni de los remedios. Tal acontecimiento, ocurrido en 1656, produjo gran revuelo: «todo París —escribe Racine— se dirigió a Port-Royal. La muchedumbre era cada vez mayor y Dios mismo parecía complacido con la devoción popular por la cantidad de milagros que se operaron en esa iglesia». Era una época en la que se aceptaban los milagros y los sortilegios como verosímiles, y para explicarlos se los incluía en las rarezas de la naturaleza.

Este modo de concebir los efectos extraordinarios se halla en las más famosas obras del siglo de Luis XIV, en la propia obra del sabio Locke Ensayo sobre el entendimiento humano quien, al referirse a los grados de asentimiento expresa: «Aunque la experiencia corriente y la marcha ordinaria de los acontecimientos ejerzan, con razón, poderosa influencia sobre el espíritu humano, para llevarlos a otorgar o negar su asentimiento a algo que se les induce a creer, existe, sin embargo, un caso en el que lo raro de un hecho no disminuye el asentimiento que debemos conceder al testimonio sincero en que se basa. Cuando hechos sobrenaturales coinciden con los fines que se propone el que puede modificar el curso de la naturaleza, en esa época y en esas circunstancias, pueden ser tanto más aptos para despertar fe en nuestro espíritu, cuanto más sobrepasen las observaciones corrientes o también, cuanto más se opongan a ellas».

Como los filósofos, por quienes principalmente progresa la razón, desconocen los verdaderos principios de la probabilidad de los testimonios, me siento en la necesidad de exponer ampliamente los resultados del cálculo aplicado a tan importante asunto.

Surge aquí naturalmente la discusión de un famoso argumento de Pascal, que el matemático; inglés Craig reprodujo en forma geométrica. Algunos testigos afirman la participación de la divinidad de modo que, adaptándose a una cosa, se disfrutaría no de una o de dos sino de innumerables vidas felices. Por escasa que sea la probabilidad de los testimonios con tal que no sea excesivamente pequeña, es evidente que los beneficios de los dos que se ajustan a la cosa prescripta son inmensos puesto que se trata de la resultante del producto de esta probabilidad por un bien infinito; no se debe, pues, titubear en perseguir tal ventaja.

Se basa este argumento en la cantidad de vidas felices que los testigos prometen en nombre de la divinidad; será indispensable, pues, hacer lo que indican, porque exageran enormemente sus promesas, consecuencia que el sentido común rechaza. Por otra parte, el cálculo pone de manifiesto que esta misma exageración disminuye la probabilidad de su testimonio hasta reducirla considerablemente o anularla. En efecto, este caso corresponde al de un testigo que afirmara la salida del número más alto de una urna que contiene gran cantidad de números de los que se ha extraído sólo uno, y que estuviera particularmente interesado en anunciar la salida de este número. Hemos visto ya cómo tal interés debilita su testimonio. Si ponderamos sólo en 1/2 la probabilidad de que si el testigo miente, elegirá el número mayor, el cálculo de la probabilidad de su anuncio será menor que una fracción cuyo numerador es la unidad y cuyo denominador es la unidad más la mitad del producto de todos los números por la probabilidad de la mentira, considerada a priori o con prescindencia del anuncio. Para relacionar este caso con el del argumento de Pascal, se pueden representar todos los números posibles de vidas felices por los números de la urna, con lo que resulta infinito el total de esos números; vemos que si los testigos engañan es porque tienen el mayor interés en prometer una vida dichosa para justificar su mentira y la expresión de la posibilidad de su testimonio disminuye infinitamente. Al multiplicarla por el número infinito de vidas dichosas anunciadas, desaparece el infinito del producto que expresa la ventaja consiguiente a esa promesa y el argumento de Pascal se desvanece.

Veamos, ahora, la probabilidad del total de numerosos testimonios sobre un hecho determinado. Supongamos, para aclarar, que el hecho en cuestión sea la extracción de un número de una urna que contiene cíen, de los que se saca uno solo. Dos testigos afirman que salió el número dos y se averigua la probabilidad obtenida del conjunto de estos testimonios. Caben estas dos hipótesis: los testigos dicen la verdad, los testigos mienten. En el primer supuesto salió el número 2 y la probabilidad del hecho será 1/100. Multiplicada por el producto de las veracidades de los testigos, veracidades que suponemos 9/10 y 7/10 se tendrá 63/10.000 como probabilidad del hecho. Conforme a la segunda hipótesis, no salió el número 2, la probabilidad de este hecho es 99/100 pero el acuerdo de los testigos requiere que al procurar engañar elijan ambos el número 2 entre los 99 que quedaron en la urna; si los testigos no están de acuerdo, la probabilidad de esta elección es el producto de la fracción 1/99 por sí misma; hay que multiplicar, pues, estas dos probabilidades entre sí y por el producto de las probabilidades 1/10 y 3/10 de que los testigos mienten, lo que dará, así, 1/330.000 como probabilidad del hecho observado según la segunda hipótesis.

Para obtener la probabilidad del hecho declarado, la salida del número 2, habrá que dividir la probabilidad de la primera hipótesis por la suma de las probabilidades de las dos hipótesis, esta probabilidad será 2079/2080 y la probabilidad de que los testigos mienten y el número 2 no ha salido será 1/2080.

Si dentro de la urna no estuvieran más que los números 1 y 2, resultaría del mismo modo 21/22 para la probabilidad de la salida del número 2 y por lo tanto 1/22 para la probabilidad de que los testigos mienten. Esta probabilidad será por lo menos 94 veces mayor que la primera. En esta forma se advierte cómo disminuye la probabilidad de la mentira de los testigos cuando el hecho que afirman es probable de por sí. Resulta también que el acuerdo de los testigos, cuando mienten, se hace más difícil a no ser que estén de acuerdo, lo que no suponemos aquí.

En el caso anterior, al no contener la urna más que dos números, la probabilidad a priori del hecho aseverado es 1/2; la probabilidad que surge de los testimonios es el producto de las veracidades de los testigos dividido por este producto, más el de la probabilidad de cada una de las mentiras respectivas. Resta ahora examinar la influencia del tiempo sobre la probabilidad de los hechos trasmitidos por una tradicional serie de testigos. Es indudable que esta probabilidad tiene que disminuir a medida que la serie se alarga. Si el hecho carece por sí de probabilidad, tal como la salida de un número de una urna que contiene una infinita cantidad, la que le confieren los testimonios disminuye de acuerdo al producto de las veracidades de los testigos. Si el acontecimiento tiene una probabilidad por sí mismo, por ejemplo si el hecho es la salida del número 2 de una urna que contiene un número infinito, y de la que con certeza no se ha sacado más que un solo número, lo que la serie tradicional añade a esta posibilidad, disminuye conforme a un producto cuyo primer factor es la relación del total de números de la urna menos uno con este mismo número y cada uno de cuyos factores restantes es la veracidad de cada testigo reducida en la proporción de la probabilidad de su mentira con todos los números de la urna menos uno, en forma tal que el alcance de la probabilidad del hecho es la de este hecho considerada a priori o prescindiendo de los testimonios, probabilidad igual a la unidad dividida por el conjunto de los números de la urna.

El paso del tiempo disminuye, pues, incesantemente la probabilidad de los acontecimientos históricos así como modifica los más perdurables monumentos. En realidad, es posible retrasarla, aumentando y conservando los testimonios y los documentos que los sustentan. Para ello la imprenta proporciona un medio poderoso que los antiguos desgraciadamente no conocían. A pesar de sus enormes beneficios, las revoluciones físicas y morales que conmoverán siempre la faz del mundo, unidas a la acción inevitable del tiempo, concluirán por hacer dudosos, al cabo de milenios, los acontecimientos históricos más verdaderos de la actualidad.

Craig intentó someter al cálculo el paulatino debilitamiento de las pruebas de la religión cristiana: Suponiendo que el mundo acabara en la época en que ella habrá perdido su probabilidad, resulta que ocurrirá 1454 años después del instante en que lo escribió. Pero su análisis es tan imperfecto, como arbitraria su hipótesis sobre la duración del mundo.

De las elecciones y las decisiones de las asambleas

La probabilidad de las determinaciones de una asamblea obedece a la cantidad de votos, a la cultura y a la ecuanimidad de sus participantes. Tantas son las pasiones y los intereses particulares que en ella intervienen, que resulta imposible someter al cálculo esta posibilidad. Poseemos, sin embargo, algunas conclusiones generales sugeridas por el simple sentido común que han sido corroboradas por el cálculo. Por ejemplo, si la asamblea no está suficientemente informada sobre el asunto, requiere consideraciones delicadas o si su verdad contradice principios heredados, de modo que es posible apostar más de uno contra uno a que cada votante se alejará de ella, entonces el veredicto de la mayoría será presumiblemente malo y el temor a este respecto será tanto más justo cuanto más nutrida sea la asamblea.

Es importante, pues, para la cosa pública, que las asambleas no tengan que dictaminar más que sobre asuntos al alcance de la mayoría; que la instrucción esté uniformemente distribuida y que obras buenas, basadas en la razón y la experiencia, alumbren a aquellos a quienes corresponde decidir sobre la suerte de sus semejantes o gobernarlos y los amparen de antemano de las engañosas apariencias y los prejuicios de la ignorancia.

Los sabios tienen múltiples oportunidades de verificar que las primeras opiniones son generalmente erróneas y que lo verdadero no siempre es verosímil. No es fácil conocer, ni menos establecer el voto de una asamblea ante la diversidad de opiniones de sus componentes. Procuremos dar algunas reglas al respecto teniendo en cuenta los dos casos más comunes: la elección entre varios candidatos y la elección entre varias proposiciones sobre el mismo asunto.

Cuando una asamblea se debe pronunciar entre varios candidatos presentados para uno o más cargos análogos, lo más elemental parece hacer escribir en un papel a cada uno de los votantes los nombres de todos los candidatos conforme a los merecimientos que se les atribuyen. Suponiendo que hayan sido clasificados de buena fe, el examen de esos papeles dará a conocer los resultados de la elección, prescindiendo del criterio seguido para la comparación de los candidatos, de modo que nuevas elecciones no agregarían nada al respecto.

Se trata ahora de establecer el orden de preferencia que esos papeles han revelado sobre los candidatos. Supongamos que se entrega a cada lector una urna con infinidad de bolillas que puede utilizar para determinar las distintas gradaciones en el mérito de los candidatos; imaginemos también que extraiga de su urna cierto número de bolillas proporcional al mérito de cada uno y que se escriba en un papel ese número junto al nombre correspondiente. Es evidente que al sumar todos los números correspondientes a cada candidato en cada papel, el que haya obtenido la suma mayor será el que la asamblea prefiere y que, en general, el orden de preferencia de los candidatos será el de las sumas correspondientes a cada uno de ellos.

Pero esos papeles no indican el número de bolillas que cada elector atribuye a los candidatos; indican simplemente que el primero tiene más que el segundo, éste más que el tercero y así sucesivamente. Si suponemos para el primero un número cualquiera de bolillas en un papel determinado, serán igualmente admisibles todas las combinaciones de los números menores que llenen las condiciones precedentes y el número de bolillas que corresponde a cada candidato se obtendrá sumando todos los números que cada combinación le asigna, dividiéndola luego por el número total de combinaciones.

De un análisis muy simple resulta que los números que se han de consignar en cada papel junto al último nombre, al penúltimo, etcétera, son proporcionales a los términos de la progresión aritmética 1, 2, 3… Si se anotan en cada papel los términos de esta progresión y se añaden los términos correspondientes a cada candidato, la magnitud de las diversas sumas indicará el orden de preferencia entre los candidatos. Ésta es la forma de elección que indica la teoría de las probabilidades, que sería indiscutiblemente la mejor si cada elector ordenara los nombres de los candidatos de acuerdo al orden que les atribuye. Pero los intereses particulares y toda clase de consideraciones ajenas a los propios méritos alteran ese orden, y muchas veces pasa a ocupar el último lugar el oponente más temible al candidato que se prefiere, con lo que se benefician mucho los mediocres. Además, la experiencia aconsejó abandonar esa forma de elección a las instituciones que la habían adoptado. La elección por mayoría absoluta de votos ofrece además de la ventaja de no aceptar ninguno de los candidatos que la mayoría rechaza, la ventaja de expresar lo más frecuentemente, la voluntad de la asamblea. Concuerda siempre con el sistema que antecede, cuando sólo hay dos candidatos. En realidad, tiene el inconveniente de alargar las elecciones. La experiencia ha demostrado que tal inconveniente no existe ya que, el deseo de terminar hace que se reúna pronto la mayoría de votos en un solo candidato.

Parece que el pronunciamiento entre varias proposiciones relativas a un mismo objeto obedece a las mismas normas que el pronunciamiento entre candidatos. Pero hay una diferencia entre ambos casos, o sea, que el mérito de un candidato no excluya el de sus oponentes, pero si las proposiciones entre las que hay que elegir son contradictorias, la verdad de una excluye la de las otras. Veamos cómo hay que plantear, entonces, la cuestión.

Demos a cada elector una urna con un número infinito de bolillas, y supongamos que las distribuye entre las distintas proposiciones conforme a las respectivas probabilidades que les asigna. Es claro que como el número total de bolillas expresa la certeza y el elector está convencido, por hipótesis, de que una de esas proposiciones tiene que ser verdadera, distribuirá íntegramente ese número entre las proposiciones. La cuestión consiste, pues, en establecer las combinaciones en que se repartirán las bolillas, de modo que para la primera proposición haya más que para la segunda, para ésta, más que para la tercera, etcétera; sumar luego el total de los números de bolillas correspondientes a cada proposición en las distintas combinaciones y dividir esa suma por el número de combinaciones; los cocientes indicarán los números de bolillas correspondientes a las preposiciones en una cédula cualquiera.

El análisis establece que, empezando por la última proposición para llegar a la primera, esos cocientes están entre sí como las cantidades siguientes: primero, la unidad dividida por el número de proposiciones; segundo, la cantidad precedente más la unidad y dividida por el número de proposiciones menos una, y tercero, esta segunda cantidad más la unidad y dividida por el número de proposiciones menos dos, y así sucesivamente. En cada cédula se anotarán esas cantidades junto a las proposiciones respectivas, y al sumar las cantidades correspondientes a cada proposición en las distintas cédulas, se obtendrá, de acuerdo con la magnitud de la suma, el orden de preferencia atribuido por la asamblea a tales proposiciones.

Veamos algo sobre la renovación de las asambleas que deben cambiar totalmente cada determinado número de años. Esa renovación ¿debe ser simultánea o conviene distribuirla entre esos años? En este último caso se constituirá la asamblea de acuerdo con las distintas opiniones imperantes durante el tiempo de su renovación; la opinión dominante en ella sería entonces, muy posiblemente, el promedio de todas esas opiniones. En ese caso, la asamblea obtendría del tiempo el mismo beneficio que recibe de la extensión de las elecciones de sus componentes a todo el ámbito del territorio que representa.

Ahora bien, si se tiene en cuenta que la experiencia nos enseña sobradamente que las elecciones se inclinan exageradamente hacia las opiniones dominantes, se advertirá la conveniencia de equilibrar esas opiniones mediante la renovación parcial.

De la probabilidad de las sentencias de los tribunales

El análisis corrobora lo que establece el simple sentido común, o sea que la justicia de las sentencias es tanto más probable cuanto más ilustrados son los jueces. Es importante, pues, que los tribunales de apelación reúnan esas condiciones.

Los de primera instancia, más en contacto con los litigantes, los benefician en el sentido de que les brindan un primer juicio ya probable, que frecuentemente aceptan, sea transando, sea desistiendo de sus derechos. Pero si la incertidumbre del hecho en litigio y su importancia mueven al litigante a recurrir al tribunal de apelación, debe tener, con la mayor probabilidad de alcanzar un fallo justo, mayor seguridad para su fortuna y la compensación de las molestias y gastos que le ocasionaría un proceso nuevo.

Esto no ocurría con la institución de apelación recíproca de los tribunales de departamento, institución que perjudicaba los intereses de los ciudadanos. Quizás convendría, y ello estaría de acuerdo con el cálculo de las probabilidades, exigir por lo menos una mayoría de dos votos en un tribunal de apelación para anular el dictamen del tribunal inferior. Se llegaría a este resultado si persistiera la sentencia en el caso de igualdad de votos por estar constituido el tribunal de selección con un número par de jueces.

Examinaré particularmente los juicios en lo criminal.

Desde luego, para condenar a un acusado los jueces necesitan pruebas irrefutables del delito. Pero una prueba moral es tan sólo una probabilidad. La experiencia ha mostrado sobradamente los errores a que están expuestos los juicios criminales, hasta los que parecen más justos. El mayor argumento de los filósofos contra la pena de muerte es la posibilidad de reparar estos errores. Habrá que abstenerse de juzgar antes de tener la evidencia matemática. Pero el juicio se impone por el peligro que resultaría de la impunidad del crimen. Si no me equivoco, este juicio se reduce a resolver esta cuestión: la prueba del delito del acusado ¿posee el alto grado de probabilidad requerido para que los ciudadanos teman menos los errores de los tribunales, si el inocente es condenado, que sus nuevos atentados y los de los desdichados a quienes exasperaría el hecho de su impunidad si el culpable fuera absuelto? La solución de este problema obedece a muchos elementos difíciles de determinar. Tal el peligro inminente a que estaría expuesta la sociedad si el criminal acusado quedara impune.

A veces este peligro es de tal magnitud que el magistrado se ve en la necesidad de desistir de las formas prudentemente dispuestas para garantizar la inocencia. Pero lo que casi siempre dificulta la cuestión es la imposibilidad de establecer con exactitud la probabilidad del delito y de determinar la que se requiere para condenar al acusado. A tal efecto cada juez debe atenerse a su propia prudencia. Forma su opinión al comparar los diversos testimonios y las circunstancias que rodean el delito con los resultados de sus reflexiones y su experiencia; en este sentido, un inveterado hábito de indagar y de juzgar a los acusados es muy favorable para descubrir la verdad entre indicios frecuentemente contradictorios.

La cuestión que antecede depende también de la importancia de la pena impuesta al delito, pues para la pena de muerte se exigen, naturalmente, pruebas muy superiores a las que se requieren para aplicar una detención de algunos meses. Éste es un fundamento para adecuar la pena al delito, pues una pena grave para un delito leve debe, necesariamente hacer absolver a muchos culpables. Una ley que permita a los jueces aminorar la pena en los casos de circunstancias atenuantes, conviene simultáneamente a los principios de humanidad hacia el culpable y al interés social. Si la probabilidad del delito da por su gravedad la pauta del peligro a que estaría expuesta la sociedad por la absolución del acusado, cabe pensar que la pena debe subordinarse a esta probabilidad. Esto se hace indirectamente en los tribunales que demoran por cierto tiempo al acusado contra el cual se reúnen pruebas muy grandes, pero que no bastan para condenarlo; a la espera de pruebas más convincentes es que no se lo deja de inmediato entre sus conciudadanos quienes no lo verían sin inquietarse. Los países en los que más valor se da a la libertad individual han rechazado esta medida por su arbitrariedad y por el uso excesivo que se puede hacer de ella.

Cabe preguntar cuál es la probabilidad de que el fallo de un tribunal, que sólo puede condenar en mayoría, sea justo, es decir, adecuado a la auténtica solución de la cuestión antes propuesta. Este importante problema, perfectamente resuelto, proporcionará el medio de comparar los distintos tribunales. La mayoría por un solo voto en el caso de tribunales muy numerosos, indica que se trata de un asunto muy dudoso, la condena del acusado no se ajustaría a los principios humanitarios en pro de la inocencia. El voto de los jueces dado por unanimidad, proporcionaría una gran probabilidad de decisión justa, pero conformándose a ella serían absueltos muchos culpables.

Habría, pues, que limitar el número de jueces para que sean unánimes o bien, aumentar la mayoría requerida para condenar, cuando el tribunal es más numeroso. Procuraré aplicar aquí también el cálculo, convencido de que es siempre el mejor camino cuando nos apoyamos en los datos que nos proporciona el sentido común.

La probabilidad de que la opinión de cada juez sea justa es fundamental en este cálculo. Es evidente que esta probabilidad corresponde a cada asunto. Si en un tribunal constituido por mil y un jueces, quinientos uno tienen una opinión, y quinientos la opinión opuesta, evidentemente la probabilidad de la opinión de cada juez apenas supera 1/2, pues si se la supusiera notablemente mayor, un solo voto de diferencia sería un hecho inverosímil. Pero si hay unanimidad en los jueces ello significa que las pruebas son convincentes, y en ese caso la probabilidad de la opinión de cada juez está muy próxima a la unidad o la certeza siempre que pasiones o prejuicios vulgares no perturben simultáneamente a todos los jueces. Exceptuando estos casos, sólo mediante la relación de los votos a favor o en contra del acusado se determina esta probabilidad. Pienso que puede oscilar entre la unidad y 1/2, pero no ser inferior a 1/2. De no ser así, la decisión del tribunal será ínfima como la suerte; tiene validez mientras la opinión del juez se incline más a la verdad que al error. Luego establezco la probabilidad de esta opinión por la cantidad de votos favorables y contrarios al acusado.

Bastan estos datos para llegar a la expresión general de la probabilidad de que el fallo de un tribunal que delibera con una mayoría conocida, es justo. En los tribunales en los que sobre ocho jueces se necesitaron cinco votos para condenar un acusado la probabilidad del error que se podría temer sobre la exactitud de la decisión sería superior a Si el tribunal se redujera a seis miembros que no podrían condenar sino con cuatro votos, la probabilidad del error que se podría temer sería menor que ¼, de manera que esta reducción del tribunal favorecería al acusado. En ambos casos, la mayoría es la misma, o sea, igual a dos. Al ser constante esta mayoría aumenta con el número de jueces, la probabilidad de error, lo que es general, cualquiera sea la mayoría requerida, con tal que no se altere. Si se considera la razón aritmética como regla, el acusado se halla en una situación cada vez menos favorable cuanto más aumenta el número del tribunal. Podría suponerse que en un tribunal donde es necesaria una mayoría de doce votos, independientemente del número de jueces, como los votos de la minoría equivaldrían a igual número de votos de la mayoría, los doce restantes darían la unanimidad a un jurado de doce miembros indispensable en Inglaterra para condenar a un acusado. Lo que sería un error. El sentido común nos señala la diferencia entre la decisión de un jurado de doscientos doce jueces, de los cuales ciento doce condenan al acusado y cien lo absuelven, y la de un tribunal de doce jueces que lo condenan por unanimidad.

En el primer caso, los cien votos favorables permiten pensar que las pruebas carecen de fuerza de convicción; en el segundo, la unanimidad de los jueces hace pensar que la han alcanzado. Pero el buen sentido solo no basta para valorar la gran diferencia que existe en la probabilidad del error en ambos casos. Mediante el cálculo tenemos casi 1/5 para la probabilidad del error en el primer caso y solamente 1/8192 para la misma probabilidad en el segundo caso y que no alcanza ni a un milésimo de la primera, con lo que se confirma el principio de que la razón aritmética no conviene al acusado cuando aumenta el número de jueces. Tomando en cambio como regla la razón geométrica, disminuye la probabilidad de error en la decisión cuando aumenta el número de jueces. Por ejemplo en los tribunales que necesitan la pluralidad de los 2/3 de votos para condenar, debe haber una probabilidad de error de casi 1/4 para seis jueces y es inferior a 1/7 si los jueces alcanzan a doce. De modo que para que la probabilidad del error no esté nunca por debajo ni por encima de una fracción determinada, no deben regir ni la razón aritmética ni la geométrica.

Pero, ¿cuál es la fracción que debe fijarse? Aquí empieza la arbitrariedad, y los tribunales tienen en esto las mayores variantes. En los tribunales especiales donde por cinco votos sobre ocho se puede condenar al acusado, la probabilidad de error que debe temerse sobre la justicia del fallo es 65/256 o sea superior a 1/4. La medida de esta fracción es tremenda y lo que a veces intranquiliza un poco es que cuando el juez absuelve al acusado no lo declara inocente, sino tan sólo, que no hubo pruebas suficientes para condenarlo. Nos tranquilizamos por ese sentimiento de compasión que la naturaleza puso en el corazón del hombre y que raramente lo inclina a considerar culpable al acusado. Este sentimiento, más intenso en los que no están habituados a los juicios criminales, nos resarce de los inconvenientes propios de la inexperiencia de los jurados.

Si en un jurado de doce miembros la mayoría de votos requerida es ocho, la probabilidad del error que debe temerse es de 1093/8192, es decir, algo más que un octavo y es casi 1/22 si la mayoría necesaria alcanza a nueve votos. Al tratarse de unanimidad, la probabilidad de error que debe temerse es 1/8192 o sea más de mil veces menor que en nuestros jurados. Esto supone que la unanimidad obedece solamente a las pruebas favorables o adversas al acusado pero entran en ella, frecuentemente, elementos extraños cuando se impone al jurado como condición indispensable de juicio.

Ya que las decisiones obedecen al temperamento, al carácter, a los hábitos de los jurados y a las circunstancias que los rodean, resultan a veces opuestas a las determinaciones que habría tomado la mayoría del jurado si solamente se hubiera atenido a las pruebas, lo que me parece un gran defecto de este modo de juzgar.

En nuestros jurados es muy escasa la probabilidad de las decisiones y creo que para garantizar suficientemente la inocencia se requiere, por lo menos, la mayoría de nueve votos sobre doce.

De los diversos medios para aproximarse a la certeza

Los principales medios para alcanzar la verdad son: la inducción, la semejanza de las hipótesis basadas en los hechos y rectificadas incesantemente por nuevas observaciones, y un seguro tacto suministrado por la naturaleza y enriquecido por las innumerables confrontaciones de sus indicaciones con la experiencia.

Al considerar atentamente una serie de objetos de una misma índole, se observan entre ellos y sus modificaciones, relaciones cada vez más evidentes a medida que la serie se extiende y que, al prolongarse y generalizarse constantemente, conducen por fin al principio que las origina.

Pero tales relaciones están rodeadas con frecuencia de tantas circunstancias extrañas, que se necesita gran penetración para aclararlas y encontrar ese principio: ahí se manifiesta el verdadero genio científico.

Los más importantes descubrimientos del análisis y la filosofía natural se deben a ese magnífico medio que es la inducción. A él debe Newton su teorema del binomio y el principio de la gravedad universal. No es fácil valorar la probabilidad de los resultados de la inducción que se apoya en el hecho de que las relaciones más simples son las más comunes; las fórmulas del análisis lo verifican y lo encontramos también en los fenómenos naturales, en la cristalización y en las combinaciones químicas. La simplicidad en las relaciones demuestra que todos los fenómenos naturales no son más que resultados matemáticos de unas cuantas leyes naturales.

Pero si la inducción alcanza a descubrir los principios generales de las ciencias, no basta para establecerlos rigurosamente. Es necesario confirmarlos con demostraciones o experiencias irrefutables, pues la historia de las ciencias nos demuestra que la inducción ha llegado muchas veces a resultados inexactos.

Como ejemplo daré el teorema de Fermat sobre los números primos. Este gran matemático que había meditado largamente su teoría, trataba de hallar una fórmula que al comprender solamente números primos, diera directamente un número primo mayor que cualquier otro número indicado. Por inducción llegó a pensar que dos, elevado a una potencia que a la vez fuera potencia de dos y sumado a la unidad, formaba un número primo. Por ejemplo, dos elevado al cuadrado más uno, forma el número primo cinco; dos, elevado a la segunda potencia de dos, o sea, dieciséis, más uno, forma el número primo diecisiete. Comprobó que era cierto aun para las octava y decimosexta potencias de dos más la unidad, y esta inducción, basada en ciertas consideraciones aritméticas, lo llevó a generalizar su resultado.

Sin embargo verificó que no lo había comprobado. Euler estableció, en efecto, que eso no ocurría con la trigésimo segunda potencia de dos que, más uno, da 4294967297, divisible por 641.

Por inducción consideramos que si hechos diferentes, por ejemplo movimientos, aparecen continuamente y desde tiempo, vinculados por una relación simple, seguirán sin cesar regidos por ella, y llegamos a la conclusión, por la teoría de las probabilidades, que esa relación no obedece al azar, sino a una causa regular.

Por ejemplo, la regularidad de los movimientos de rotación y revolución de la Luna, la de los movimientos de los nodos de la órbita y del ecuador lunares y la coincidencia de esos nodos, la extraordinaria relación de los movimientos de los tres primeros satélites de Júpiter, o sea que, la longitud media del primer satélite, menos tres veces la del segundo, más dos veces la del tercero, equivale a dos ángulos rectos; la constancia del intervalo de las marcas con el de los pasos de la Luna por el meridiano, la coincidencia de las más altas mareas con las sicigias y de las más bajas con las cuadraturas, son fenómenos que se producen desde que se los observa, acusan, por lo tanto, con extremada verosimilitud, la existencia de las causas constantes que los matemáticos han vinculado felizmente a la ley de la gravitación universal y cuyo conocimiento indica la perpetuidad de tales relaciones.

El canciller Bacon, tan brillante creador del verdadero método filosófico, abusó extrañamente de la inducción para probar la inmovilidad de la tierra.

Veamos cómo argumenta en su más hermosa obra, el Novum Organum: El movimiento de los astros, de oriente a occidente, se acelera tanto más, cuanto más lejos están de la Tierra. Ese movimiento se acentúa en las estrellas; se aminora un tanto en Saturno, y así sucesivamente en la Luna y los cometas menos alejados. Se percibe también en la atmósfera, especialmente sobre los trópicos, por las grandes circunferencias que allí recorren las moléculas del aire; es casi imperceptible en el océano y nulo en la Tierra.

Pero con esta inducción, prueba solamente que Saturno y los astros inferiores a él tienen movimientos propios opuestos al movimiento real o aparente que agita toda la esfera celeste de oriente a occidente, y que esos movimientos parecen más lentos en los astros más distantes, lo que se conforma a las leyes de óptica.

Bacon se habría maravillado de la incalculable velocidad que sería necesario atribuir a los astros para que cumpliesen su revolución diurna si la tierra permaneciera inmóvil, y de la asombrosa simplicidad con que su rotación explica cómo cuerpos tan alejados unos de otros como las estrellas, los planetas, el Sol y la Luna, revelan estar sujetos también a dicha revolución.

Al tratarse del océano y la atmósfera, no debía vincular sus movimientos a los de los astros alejados de la Tierra, ya que el aire y el mar forman parte del globo terrestre y participan, por lo tanto, de su movimiento o su quietud. Es raro que a Bacon, llevado por su genio a las grandes concepciones, no lo haya seducido la extraordinaria concepción de Copérnico, aunque podía haber encontrado en favor de ese sistema, gran analogía con los descubrimientos de Galileo, que le eran conocidos. Dio la idea para la investigación de la verdad, pero no el ejemplo. Insistió elocuentemente, con todo el poder de su razón, en la necesidad de alejarse de las pequeñas sutilezas de la Escuela, entregarse a la observación y la experiencia y señalar así el método seguro para alcanzar las causas generales de los fenómenos.

Con esto contribuyó el gran filósofo al inmenso progreso realizado por el espíritu humano durante el brillante siglo en que terminó su carrera.

La analogía se basa en la probabilidad de que hechos semejantes tienen causas semejantes y producen los mismos efectos. Cuanto mayor es la similitud, mayor es la probabilidad. Así pensamos, sin lugar a duda, que seres provistos de los mismos órganos realizan las mismas cosas, experimentan las mismas sensaciones y son impulsados por los mismos deseos.

La probabilidad de que los animales que tienen órganos semejantes a los nuestros experimentan sensaciones parecidas, aunque con menos intensidad que las de los individuos de nuestra especie, es aún muy grande y se ha necesitado todo el peso de los prejuicios religiosos para que ciertos filósofos concibieran a los animales como puros autómatas.

La probabilidad de la existencia de sentimiento disminuye a medida que se aleja la semejanza de sus órganos con los nuestros; pero de todos modos es muy grande, aun con respecto a los insectos. Cuando vemos a seres de una misma especie realizar actos muy complicados exactamente del mismo modo, de generación en generación y sin aprendizaje alguno, debemos creer que obran por una especie de afinidad semejante a la que acerca las moléculas de los cristales, pero que, al combinarse con el sentimiento inherente a toda organización animal, produce, con la exactitud de las combinaciones químicas, consecuencias muy particulares: tal vez podría llamarse afinidad animal a esa síntesis de afinidades afectivas y sentimiento.

Aunque hay mucha semejanza entre la organización de las plantas y de los animales, no basta sin embargo, para atribuir a los vegetales la facultad de sentir; pero no hay nada en contra para negársela. Como por la acción benéfica de la luz y del calor del sol se desarrollan los animales y las plantas que pueblan la tierra, juzgamos que por analogía produce semejantes efectos sobre los otros planetas; no es lógico pensar que la materia que, como vemos, desarrolla su actividad de tantas maneras, pueda ser estéril en un planeta tan inmenso como Júpiter, el cual, a semejanza del nuestro, tiene sus días, sus noches y sus años y, según se observa, tiene cambios que presuponen fuerzas muy activas.

Pero sería ampliar demasiado la analogía, deducir de ella una semejanza entre los habitantes de la Tierra y los de los demás planetas. El hombre, conformado para la temperatura en que vive y para la atmósfera que respira, no podría aparentemente, vivir en los demás planetas. Pero, ¿no existirán infinitas organizaciones hechas a las distintas conformaciones de los globos del universo? Si la simple diferencia de ambientes y climas origina tanta diversidad en las producciones terrestres, cuánto mayores deben ser entre las de los distintos planetas y sus satélites. La más fértil imaginación no puede concebirla, pero es muy verosímil que exista.

Una notable analogía nos inclina a considerar a las estrellas como otros tantos soles que, al igual que el nuestro, tienen un poder de atracción directamente proporcional a su masa e inversamente al cuadrado de la distancia. Efectivamente, como está demostrada la existencia de ese poder en todos los cuerpos del sistema solar y en las más pequeñas moléculas, cabe pensar que debiera existir en toda la materia. Parecen indicarlo los movimientos de las pequeñas estrellas llamadas dobles, a causa de su proximidad; con un siglo o más de observaciones exactas, verificados los movimientos de revolución de unas alrededor de las otras, quedará fuera de duda la reciprocidad de sus atracciones.

La analogía, que nos hace concebir cada estrella como el centro de un sistema planetario, es mucho menos visible que la anterior, aunque verosímil de acuerdo con la hipótesis que hemos formulado sobre la formación de las estrellas y el Sol. Como, según esta hipótesis, el Sol y las estrellas han estado originariamente envueltos por una vasta atmósfera, podemos atribuir a esta atmósfera los mismos efectos de la solar y suponer que su condensación ha originado los planetas y los satélites.

La analogía es la fuente de muchos descubrimientos científicos. Entre los más notables citaré el de la electricidad atmosférica al que se ha llegado por la analogía de los fenómenos eléctricos con los efectos del rayo. El método más directo en la búsqueda de la verdad consiste en pasar por inducción, de los fenómenos a las leyes y de las leyes a las causas. Las leyes son las relaciones que ligan los fenómenos particulares; cuando se conoce el principio general de las fuerzas del cual provienen, se lo verifica, si es posible, mediante experiencias directas o investigando si corresponde a los fenómenos conocidos; si mediante un análisis minucioso se prueba que todos proceden de ese principio hasta en sus menores detalles, si además son muy variados y numerosos, la ciencia ha logrado su máxima certeza y perfección. Es lo que ha ocurrido en la astronomía después del descubrimiento de la gravitación universal.

La historia de las ciencias indica que este lento y arduo camino de la inducción ha sido siempre el de los investigadores. La imaginación en su afán por encontrar las causas, se complace en crear hipótesis y frecuentemente desvirtúa los hechos para someterlos a su labor; en esos casos, las hipótesis son peligrosas. Pero cuando no son más que medios para relacionar los hechos y descubrir sus leyes, cuando, al no atribuirles realidad, se las enmienda constantemente con nuevas observaciones, pueden conducirnos a las causas verdaderas o al menos permitirnos inferir de los fenómenos conocidos los que los pudieron originar en circunstancias determinadas.

Si se probaran todas las hipótesis que se pueden expresar sobre la causa de los fenómenos, se llegaría a la verdadera, por eliminación. Este medio ha sido utilizado con éxito, llegándose a formular, a veces, varias hipótesis que explicaban perfectamente bien y por igual, todos los hechos conocidos y entre ellas se pronunciaban los sabios, hasta que los hechos decisivos indicaran la verdadera.

Por eso interesa a la historia del espíritu humano revisar esas hipótesis, observar cómo podían explicar gran número de hechos e investigar las modificaciones que debieron experimentar para participar de la naturaleza.

Así, el sistema de Ptolomeo, que es la realización de las apariencias celestes, se transforma en la hipótesis del movimiento de los planetas alrededor del Sol, concibiendo iguales y paralelas a la órbita solar las circunferencias y los epiciclos que Ptolomeo les hace recorrer anualmente y cuya magnitud no estableció. Finalmente, al transferir a la Tierra, en sentido contrario el movimiento aparente del Sol, se transforma esta hipótesis en el verdadero sistema del universo.

Resulta frecuentemente imposible, someter al cálculo los resultados alcanzados por estos distintos medios, como sucede también con los hechos históricos. Pero el conjunto de los fenómenos explicados o de los testimonios se ofrece a veces en tal forma, que aun sin poder abarcar su probabilidad, no cabe ninguna duda a su respecto. En los otros casos conviene no admitirlos sino con mucha cautela.

Cuadro cronológico

1749 El 23 de marzo nace Laplace en Beaumont-en-Auge, Normandía, Francia.

1765 Ingresa en el Colegio de Artes de Caen.

1768 Se traslada a París como profesor de la Escuela Militar, por recomendación de D’Alembert.

1784 En las Memorias de la Academia de Ciencias de París se publica la gran memoria de Laplace en la que resuelve el problema de las desigualdades de Júpiter y Saturno, junto con otras importantes cuestiones referentes a los satélites de Júpiter y la estabilidad del sistema solar, utilizando y completando resultados ya obtenidos en otra memoria anterior de 1776 (Mémoires des Savants étrangers, vol. 7).

1785 Primer encuentro de Laplace con Napoleón Bonaparte, como examinador de este último para el ingreso a la Escuela Real de Artillería. A este acto se refirió más tarde Laplace (1804), como canciller del Senado en oportunidad de proclamar a Napoleón emperador. Es nombrado miembro de la Academia de Ciencias.

1788 Contrae matrimonio con Charlotte de Courty de Romanges.

1789 Toma de la Bastilla, el 14 de julio. Comienza la Revolución francesa. Laplace procura pasar desapercibido, ante el pregón de algunos revolucionarios (entre ellos Robespierre), de que la Revolución no necesitaba a los hombres de ciencia.

1794 Lavoiser, amigo de Laplace, es guillotinado y Condorcet, también amigo de Laplace, se envenena en la prisión. Al iniciarse la época del Terror, Laplace es designado asistente de Lagrange en la efímera Escuela Normal. En 1795 ambos son nombrados miembros del recién creado «Bureau de Longitudes». Laplace se dedica por un tiempo al cálculo de tablas de tiro para artillería.

1796 Aparece la Exposición del Sistema del Mundo, en la que Laplace trata de poner al alcance del público no matemático sus descubrimientos de mecánica celeste.

1799 Comienza la publicación del monumental Tratado de Mecánica Celeste. El 18 Brumario (9 de noviembre) se produce el golpe de Estado de Napoleón, quien se proclama Primer Cónsul, y nombra Ministro del Interior a Laplace, cargo en el cual sólo duró seis semanas, con lo que pasó a ser miembro del Senado.

1802 Napoleón funda la Legión de Honor y nombra a Laplace Gran Oficial de la misma.

1804 El 14 de mayo el Senado francés proclama el Imperio. El 2 de diciembre Napoleón es coronado en Nôtre Dame por el Papa Pío VII.

1806 Napoleón confiere a Laplace el título de Conde.

1812 Campaña de Napoleón en Rusia, que termina con la retirada desastrosa del ejército francés. Aparece la Teoría Analítica de las Probabilidades.

1814 El 11 de abril abdica Napoleón ante el Senado. Corresponde a Laplace, como canciller, acusar recibo y dar curso a la abdicación. Napoleón se retira a la isla de Elba y el 5 de mayo entra en París Luis XVIII, restaurando la monarquía borbónica.

1815 Del 19 de marzo al 18 de junio transcurren los famosos 100 días en que Napoleón regresa de Elba y reúne nuevamente a sus ejércitos. El 18 de junio es derrotado en Waterloo, con lo que termina definitivamente el imperio. En el mismo año Laplace recibe de Luis XVIII el título de Marqués.

1820 Aparece la tercera edición de la Teoría Analítica de las Probabilidades, precedida del Ensayo Filosófico sobre las Probabilidades.

1827 5 de marzo: muere Laplace en Arcueil, tras breve enfermedad.

Bibliografía

Obras de Laplace

Oeuvres Complètes de Laplace. París, Gauthier-Villars, 1878-1912 (14 vol.). Recopilación muy cuidada y completa de toda la producción de Laplace.

Exposition du Système du Monde. París, Bachelier, 1835, 6.ª edición.
Obra de singular importancia, escrita para un público general, sin fórmulas ni tecnicismos matemáticos, de gran claridad y elegante estilo. Como introducción contiene el «Elogio Histórico» que hizo Fourier de Laplace en la Academia de Ciencias de París el 15 de junio de 1829. Siguen luego los 5 libres de que se compone la obra, a saber: 1. Del movimiento aparente de los cuerpos celestes; 2. Del movimiento real de los cuerpos celestes; 3. De las leyes del movimiento; 4. De la teoría de la gravitación universal; 5. Breve historia de la astronomía. El libro termina con 7 notas.

Ensayo filosófico sobre las probabilidades. Buenos Aires, Espasa-Calpe Argentina, 1947 (trad. cast. de A. B. Besio y José Banfi). Publicada originalmente en 1820, como introducción a la tercera edición de la monumental Teoría analítica de las Probabilidades.

Breve Historia de la Astronomía (Libro 59 de la Exposición del Sistema del Mundo). Buenos Aires, Espasa-Calpe Argentina, 1947. Trad. cast. de José Banfi y A. E. Besio. Contiene también el «Elogio histórico» de Fourier.

Obras sobre Laplace

Whittaker, Edmund. «Laplace», The Mathematical Gazette, XXXIII, págs. 1 a 12, 1949.

Hadamard, J. «Célébration du deuxième centenarie de la naissance de P. A. Laplace», Archives Internationales d’Histoire des Sciences, XXIX, págs. 287 a 290, 1950.

Bell, E. T. Los grandes matemáticos, Buenos Aires, Losada, 1948.

Van Dantzig, D. «Laplace probabiliste et statisticien et ses précurseurs», Archives Internationales d’Histoire des Sciences, año 8, págs. 27 a 37, 1955.

Hahn, Roger. «Laplace religious views», Arch. Int. d’Histoire des Sciences, año 8, págs. 38 a 40, 1955.

Bernoulli-Bayes-Laplace, Proceedings of an International Research Seminar, Berkeley, University of California, 1963. Contiene un interesante artículo de F. N. David, titulado Some notes on Laplace, págs. 30 a 40, con nuevos datos sobre la vida de Laplace.

LLUÍS SANTALÓ (Gerona, España, 1911 – Buenos Aires, Argentina, 2001) fue un matemático español de fama internacional que se exilió en la Argentina en 1939 al iniciarse la Segunda Guerra Mundial y ser partidario del derrotado bando republicano en España. Desarrolló una fecunda labor en la Argentina donde se le otorgó el título de profesor emérito de la Universidad de Buenos Aires. Publicó más de cien trabajos de investigación fundamental y de divulgación; y varios libros, en especial sobre Geometría Integral, tema del cual se lo considera uno de sus fundadores. Su libro Integral Geometry and Geometric Probability es considerado el «clásico necesario» para cualquiera que quiera realizar investigación relacionada con el tema. Cabe mencionar que de la geometría integral se derivaron descubrimientos como la Tomografía Computada, basada en estudios de la transformada de Radon (1917). Por otro lado, también de la Geometría Integral, y mediante una fructífera interrelación con la geología y la biología, surge en 1961 la Estereología.

Notas

[1] Recordemos que se llama paralaje de un astro el ángulo que forman las dos visuales al mismo desde dos puntos diferentes de la Tierra. <<

[2] Kepler, en su obra De motibus stellae Martis, ha explicado el movimiento de todos los planetas, en un mismo sentido, por medio de especies inmateriales emanadas de la superficie del Sol, y que conservan el movimiento de rotación que tenían en la superficie, imprimiendo este movimiento a los planetas. Él dedujo así que el Sol gira sobre sí mismo en un tiempo menor que el de la revolución de Mercurio, lo que muy poco después reconoció Galileo por la observación. La hipótesis de Kepler es sin duda inadmisible; pero debe destacarse que hizo depender la identidad de la dirección de los movimientos planetarios de esta rotación del Sol, hasta tal punto parece natural esta tendencia. <<

[3] 0d, 438 significa las 438 milésimas del día. Los números que da aquí Laplace no son los actualmente adoptados (N. del T.) <<